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为了分析需求和其他目的，把保持不变的“其他事物”分成三类是有必要的：
（1）能显著影响所要研究的变量，并随即会受到该变量的显著影响的那些“事物”，例如，在分析取消人造黄油税收后对人造黄油价格影响时遇到的黄油价格。
（2）能显著影响所要研究的变量，但它们并不受该变量的显著影响的那些“事物”，例如，在分析取消人造黄油税收后对人造黄油价格影响时遇到的收入。
（3）既不显著影响所要研究的变量，又不受该变量的显著影响的那些“事物”，例如，在分析取消人造黄油税收后对人造黄油价格影响时遇到的皮革价格。
第（1）类中的事物保持不变是为了研究它们将来要经历的变动，它们保持不变仅仅是分析过程中的一个中间步骤。第（2）类中的事物保持不变是为了使分析有确定性，从其他（独立）进行的变动中分离出应加以考虑的特殊关系。第（3）类事物从略。以研究人造黄油需求为例，包括在第（1）类中的变量是一些密切相关的商品价格和数量，即，替代品或补充物。归于第（2）类的变量包括嗜好，偏好，货币收入，所有（或所有其他）商品的平均价格，财富和收入分配，等等。世界上的所有其他事物都包括在第（3）类中。当然，不可能一劳永逸地指出划分这些分类的具体界限在哪里，它取决于就分析目的而言什么样的影响被视为是“重要的”，以及关于相关要素及其影响等经验知识。
了解了上述分类以后，需求函数就可以写成下列式子：
（1） qx＝f（px；py，pz；I，Po，W，T，……），
此处的Py和Pz是与X密切相关的商品价格，Po是其他商品的平均价格，I代表收入和收入的分配，W代表财富及其分配，T代表嗜好和偏好。
如果有人极端地把任何能够意想到的影响都认定是“重要的”，而且不愿将任何因素归入第（3）类中，那么，则需包括“每一个”其他商品的价格，每一个个人的财富和收入，以及其他等等。这时的需求曲线则为数理经济家所运用，通常的形式如下：
（2）qx＝f（Px，Py，Pz，…；Pa，Pb，…），
以处第一组价格是各产品价格，第二组是生产要素和劳务价格。这个“瓦尔拉斯”函数并未清楚地揭示所有保持不变的变量，它仅仅明确地包括了各种价格。然而，该式却暗含地假设了，不同的个人所拥有的各种类型资源数量是固定的，因而某一特定的要素价格就被认为决定了每个人所拥有的财富和收入。同样，嗜好和偏好也被视为是固定的。正如已经有人提议的那样，瓦尔拉斯函数可以视为如同（1）式那一类函数的一种极限形式。然而，它的价值在于与（1）式具有完全不同的目的，这一点是非常清楚的。它是一个极其有用的抽象概念，能用来推导价格体系中的逻辑关系，但它不能用于分析具体问题。
再回到我们首要关注的需求曲线上来，让我们集中注意那些要想精确确定是非常困难的变量：商品价格，全部其他商品的平均价格，以及货币收入。如果我们集中注意于这些变量，便可使公式（1）写成：
（3）qx＝f（Px，I，Po），
请记住，我们省略的一些变量应该具有给定的数值。
公式（3）给人以这样的印象，即x的需求量被视为是三个相互分离和独立的变量的函数。然而，事实并非如此。需求曲线主要的用途是分析经济体系中各部分的关系，分析潜在的“实际”环境的变动所产生的影响。如果在括号内的所有变量（Px，I，Po）都乘以公因子，则消费者所面临的、可能发生的“实际”事情不会有任何改变；而只是简单地引起计算单位的变化，如“便士”代替“美元”。其结果是把公式（3）视为Px，I和Po的零次齐次函数，即具有下列性质的函数：
（4） f（Px，I，Po）＝f（λPx，λI，λPo），
此处的λ是一个任意数。这就等于说Px不是三个变量的函数，而仅仅是两个变量的函数。
上面所说的与一种非常普遍的认识十分接近，即认为影响个人对产品的需求量有两种力量：（1）个人可以利用的一般商品范围发生变化——在“实际”收入上的变动，或对商品和劳务的一般支付能力上的变动；（2）个人能以某一种商品代替另一种商品的条件的变动——相对价格的变动。
现在的问题是如何用需求曲线去描述这种区别，如何把三种变数Px，I，Po“分解”（似乎可以这样说）为两种，并且使当任何一个被简化后的变量保持不变，而另一个变量变动时能够得到一个有意义的结果。
通常的解决办法是，使（4）式中的y等于1/Po，这样需求函数就成为：
（5）q＝f（Px/Po；1/Po）
对该式一般地描述是，当考察价格变动的影响时，使货币收入和其他商品的价格保持不变。用这种方法把Px，I和Po化简为两个变数。在数学上很简单也很方便，但是，不幸的是，它不符合我们在前面对“实际”收入和相关价格所做出的区别。如果用这种特定的方式分解函数，则当我们沿需求曲线移动时，实际收入将发生变化。假定商品x的价格下降，由于货币收入和所有其他商品的平均价格保持不变，个人将能够买到原先购买的商品数量，并且仍有货币节余。这表明，商品x的价格下降，就意味着个人的实际收入的增加，也就是说，他的选择余地更大了。人们已经看到了这一点，并且已经对一种价格变动的影响做了更进一步的分类：归因于个人所面临的选择范围变化的影响，以及相关价格变动的影响——所谓的价格变动收入效应和所谓的替代效应。因此，用Px/Po和I/Po去替换Px，I，和Po这三个变量。对于消费量的影响力并未真正产生两分法式的分类。它仍然是一种三分法：（1）“替代”效应，（2）价格变动的收入效应，（3）货币收入变动的效应。不过，（2）和（3）在逻辑和概念上是相同的。它们二者的区别只能从分解三个变数为二个变数的偶然形式中产生。为了说明这一点，请参见表2．1。
表2。1
从第（1）行到第（2）行的变化是包括通常的需求曲线中的那种价格变动，这两点将落在通常那种单一需求曲线上。这种变动被认为包括两部分：一部分反映出个人面临的选择范围的扩大；第二部分反映出相对价格的变动。现在，考虑从第（1）行到第（3）行和第（4）行的变动。第（4）行的数字显然是与第（2）行相同的，这是因为第（4）行只不过是第（2）行的价格和收入被1．01相乘的积（I/Po和Px/Po是相同的）。因而，从第（1）行到第（2）行的移动等于从第（1）行移到第（3）行加上第（3）行移到第（4）行的和。从第（1）行到第（3）行的移动涉及到“实际”收入上的变动，这个变动大体等于从第（1）行到第（2）行移动中所涉及的收入上的变动。这因为，如果个人购买商品X的数量（即1O）同从前一样多，当商品X的价格降低时，就会有剩余的1美元可供该人使用。因此，从第（1）行到第（3）行的移动与从第（1）行到第（2）行的移动所涉及的部分是相同的，然而，它们的分类完全不同，也就是说，一个划分为收入变动的收入效应，一个划分为价格变动的收入效应。
有一种可供选择的把Px、I和Po三个变量分解为两个变量，并更合乎根据经济上的考虑所提出的双重划分法的方法。这种方法首先是用各种用途中的货币购买力替换Po，然后把购买力作为公式（4）中的y。较为准确的表达式为：
（6）P＝W1Px＋W2Po即P是Px和Po的加权平均数，此处的权数确定为是与最初状态下消费的X商品和其他商品的数量成比例的（所以，P在概念上等于通常的生活成本指数）。这样，我们就可以把公式（4）写为：
qx＝f（Px，I，Po）＝f（Px，I，P…W1Px/W2），或者 λ＝1/p，这时
qx＝f（Px/P，I/P，（1…W1［Px/P］）/W2），或者更为一般的写为：
（7） qx＝g（Px/P，I/P）。
很显然，在这种情况下，当I/P固定时，相对于所有商品价格X价格的变动并不涉及“实际”收入的任何明显变动。如果，为了明确说明我们的观点，我们设想I为（货币收入）固定的，那么，若要使P不变，则Px的降低一定会伴随其他价格的上升，这就意味着将花光因X价格的降低而释放出来的任何存款。我们可以用表2．1提供的简单数字作进一步的说明。我们增加了一些新计算结果，重新绘制了表2．2。按一般定义，第（1）行和第（2）行是在相同的需求曲线上，按照方程（7）的另一种定义，它们又不在相同的需求曲线上，因为，如最后的两列所示，第（1）行和第（2）行有两方面的不同：一是第（2）行的X价格比第（1）行低；二是用I/P度量的实际收入第（2）行比第（1）行高。实际收入I/P的变动从第（1）行到第（2）行与从第（1）行到第（3）行相同，价格变动（Px/Po）从第（1）到第（2）行与从第（3）行到第（4）行相同，第（3）和第（4）行按一般定义是在不同的需求曲线上，而按照另一种定义则是在同一条需求曲线上。
表2。2
qx Px Po I Px/Po I/Po P Px/P I/P
（1） 10 1。0 1 100 1。0 100 1 1 100
（2） 11 0。9 1 100 0。9 100 0。99 0。909 101
（3） 10。1 1。0 1 101 1。0 101 1 1 101
（4） 11 0。909 1。01 101 0。9 100 1 0．909 101
注：P＝0。1Px＋0。9Po，因为就第（1）行而言，qx是qo的1/9。
概括地讲，一般认为需要有两个函数。一个函数应定义为可以用于概括那些通过相对价格来影响商品需求的力量，在这个函数里，实际收入应保持不变。另一个函数应定义为可以用来概括那些通过实际收入影响商品需求的力量，在这个函数中，相对价格显然也应保持不变。后一种形态的函数就是恩格尔曲线，这种曲线联系着需求数量和实际收入。普遍需求函数本意在于表述前一种类型的函数，但是并非如此。因为，这种函数中的实际收入变化并没有被严格地排除掉。如果在一种需求函数中的实际收入（货币收入被收入购买力相除）保持不变，将能产生所希望得到的函数。
统计上的需求曲线
统计上估算需求曲线的目的是为获得指定的条件下相对于一种特定商品的马歇尔需求曲线。在获得统计上的需求曲线时必然遇到两类问题：第一类涉及资料数据本身，第二类是从数据资料转换为需求曲线的问题。
资料通常有两类：时间序列资料，即在不同时点上的价格和商品数量；跨部门资料，即在同一时点上不同单位或不同种类的价格和商品数量。
观察这些资料会发现下列一些问题：（1）差不多任何商品和劳务都存在着大量的价格。是用零售价还是用批发价呢？是用纽约价还是用芝加哥价呢？是用一月份的价格还是用十二月份的价格？是用农村价还是用城市价？不同质量商品的价格如何处理？如何使用平均价，这个平均价如何构成？（2）使用哪种数量？是用生产数量还是用可供国内消费的数量？即我们应如何处理进出口？库存如何处理？通常，供最终消费的销售数量被认为是适宜的数量。（3）价格和数量等各种数字所使用的时间单位是相同的吗？地理单位呢？
假设对所有这样或那样有关数据资料的问题都做出使用上的判断，下一个问题就是用这些数字推导出一条需求曲线。就形成而言，答案是相对明确的，即希望把这些数字安排得仅与一条单一的需求曲线有关。必须根据所有因观察的不同导出的不同因素对得到的数据加以校正，以使它们尽可能地接近于已给定的一组条件。但是，在这里有一个两难的困境。事实上，如果条件可以规定为同一的，那么，就只能观察到唯一的一种价格和唯一的一个数量。因此，真正希望的是影响需求的条件不变时，影响供给的力量有最大的变动。另一种情况是，如果影响需求的力量变化，而影响供给的力量保持不变，则这些数据可用以生成供给曲线。但是，通常影响需求和供给的力量都变化。如果这样的话，转换数字为需求曲线的唯一希望就在于假定影响需求和影响供给的力量是不同的。如果影响需求和�