1/3，1/2和2/3这样的分数重量。
现在我们设想，如果他们和一个与他们有相同比率的邻部族间进行商业往来，但基本单位却是他们自己的60倍，你可以想象商人们在换算出他的币值等于多少时是多么的困难。比如，他们贸易伙伴的7 个单位换算到自己部族的币值中是多少呢（即使是物物交换的贸易，精确的记录也应该保持价值相当）？当你用60为单位重新进行思考时，困难就迎刃而解了。由于7 ×60=460，那么就是460个苏美尔单位。另外，60的1/4，1/3，1/2，和2/3都是整数——易于处理的。我们永远也不可能知道这种重大决定的细节（签订协定时，喝掉啤酒的杯数和围绕着基本单位的比率是高于或低于60的秘密协定），但我们确实知道在苏美尔度量体系中，60个谢克尔（shekel古希伯来或巴比伦的衡量和货币单位——译者注）是1个迈纳（mina古代希腊的金额单位和重量单位——译者注），60个迈纳是1个塔兰特（talent使用于古代希腊、罗马和中东的一种可变的重量和货币单位——译者注）。
直到今天，我们在用数字计算的路程上似乎也并没有前进多远。如果有什么区别的话，那就是苏美尔人似乎还处在10进制与60进制的混乱状态下。但是如果我们想知道这种混乱状态是如何结束的，我们除了想象几千年前的事外别的什么也做不了。
苏美尔人通过使用中空的芦苇管尖在湿泥块上印出圆或半圆来进行书写，然后把泥块烘干来进行保存（大量的这种记事簿在经历了遥远的岁月后依然幸存了下来，而20世纪60年代写在计算机穿孔卡上的文件已不复存在）。最后芦苇管被三棱的铁笔所代替，用它可以写出这样的楔形符号： ；或者旋转成不同角度，成为一个“钩”： 。虽然在大约公元前2 500年，苏美尔人被阿卡得（Akkadian）人征服，但十进制与六十进制的混合数制仍被完整无缺地保存了下来，到公元前2 000年（古巴比伦时代）数字演变成这样：
1
2
3
4 或者后来是
5
6
7 或者后来是
8 或者后来是
9 或者后来是 （对角线代表3×3）
对于10他们用一个“钩”来代替：
所以11是
12 是
第一部分 透视零第5节 思想的印迹（4）
依次类推——就象后来罗马人发明的X，XI，XII（但是没有表示5的新符号，所以15不象罗马文的XV，而是 ）。20是 ，30 是由3个“钩”组成，有不同的排列形式： ，40是4个“钩”，50是5个，在它们之间的数字都是你可以想到的形式：34是 ，59是
在这里六十进制突然出现了，60也是一个楔形，但是是更大的一个： 。像这样从小到大，从右到左书写数字（就像我们从右到左书写数字一样——感谢他们这样做——虽然我们书写单词是从左到右），63将会是 ，72是 ，你自己就能创造出剩下的：120是 ，137是：
↑↑↑
（2×60）＋ 10＋7
=120
等等。如果你想进行一次短暂的时光旅行（粘土块，木尖笔，弥漫的羊肉的味道对你会有帮助），试着写出217，
你写得出来吗：
↑↑↑
（3×60）＋30＋7？
=180
注意楔形的大小是很重要的：62 和3 的唯一区别是第一个楔形的大小。但是手写体总是不断变化的，即使是楔形文字也不例外；人们是匆忙或者粗心的（试着用铁笔写出一个月的帐目），被教堂的神职人员保存下来的历尽劫难的成千上万的记录，上面记录着捐赠者的姓名和作为祭品的羊，鱼或鸡的数量，在记录这些东西的过程中，大的楔形可能变小，小的可能变大（或许偶尔也会有像台比留皇帝那样的事情），那么，这个问题怎么解决呢？
直到有人想出了一个高明的主意（或者这个主意仅仅只是一个碰巧凑效的权宜之计，谁知道呢）——以楔形的书写位置来代表数值的大小而不论楔形形状的大小，这种混乱的局面才结束。因此，不管楔形是大是小， 总是表示202：3个60，2个10另加2。 表示182：3×60＋2。
这种用位置来表示数字大小的体系一旦普及开来，为了一目了然，引入空位和规范的楔形及钩形组就成为必然。就像我们的“754”是表示（7×102）＋（5×10）＋（4×1）一样，
表示是62，但 表示是3 661；
↑ ↑↑↑↑
（1×60）＋ 2 （1×602）＋（1×60） ＋ 1
和
是754。
↑↑
（12×60） ＋34
=720
这样做是非常奇妙的事情。它不仅仅能让我们很快的写出很大的数字（比如1999就将变成这样的表示 ）
↑ ↑
（33×60）＋ 19
=1 980
而且更重要的是能让我们的运算变得相对容易。举个例子，我们做加法
43
＋14
57
是通过首先把3和4相加，再把4个10和1个10相加。
对巴比伦人（Babylonian）来说，他们是这样加的，
但是如何“进位”呢？这是一个我们孩提时代感到困惑的事情。我们来做
82
＋41
123
（2个单位加上1个单位是3个单位，8个10加上4个10是12个10，也就是，2个10和1个100）。他们这样做
6个10是1个60，3个单位
再加上原来已经存
在的1个60
我们就得到2个60
对于我们，把一个数字移到它左边的数位上，它的值就变成原来的十倍，在巴比伦的表示方法中就变成原来的60倍。当一个数位满了，处理的方法是把这一位去掉10——或60，在左边一位加上1。
索福克勒斯（Sophocles古希腊悲剧诗人——译者注）说：“没有磨难就没有伟大事件发生。” 引入位置来表示数值的大小固然伟大，但巴比伦人怎么区分180： 和3： 呢？也就是说，他们怎么知道“3”在个位还是在60位？神庙里的神父从记录中怎么才能知道上一年送给女神的祭品是2只羊呢，还是120只羊？很显然，是通过当时的情况来考虑；就象当你考虑半加仑牛奶值55，旅行社到多伦多的廉价飞行价格也是55，你是知道小数点应该放在哪里的。
但是，生活变得更加纷繁复杂了，事物的数目更大了，仅凭各种情况来判断数目的大小变得不再可靠。忍受了上千年的模棱两可后（是这方面的不同进度使文明有了明显的差异？），在公元前6到3世纪，终于有人创造并使用了一个具有划时代意义的符号 ，这个符号或许是在定义两列楔形如何分开时独立出来的单词，也或许是来自另一个语言中的符号。无论如何，他有效的表示了这样的含义：“这一列什么也没有”。因此
=125
↑↑
（2×60）＋5
但是 =7205
↑↑↑
（2×602）＋（0×60） ＋5
=7 200
正如你所想象的一样，人们有各种各样书写0的方法，随心所欲，所以就有了下面这样的书写方法：
和 甚至是 或者 。
在启什（Kish美索不达米亚的古代城市，位于今天伊拉克中部幼发拉底河流域。其众多的遗迹成为关于苏美尔人文明的有价值的考古学证据——译者注）遗址发掘出的一个记事簿（大约公元前700年）上，记事员是用三个“钩”而不是两个倾斜的楔形来表示他的零，它们看上去像30；而同一时期的另一个记事员则只用一个“钩”来表示他的零，以至于与10很难区分。难道是粗心吗？或者这种变化表明我们已经非常接近了表示零的最早的独立符号，它的意义和形式正在慢慢形成吗？
然而，这种零的标记只被用在数字的中间，从来没有在数字末尾出现过。从你的存货清单上看你的库存面包，到底是够2个人食用呢，还是够420个人食用？这可能需要你研究不同的时期、不同的地点、不同的人们，你才可能最终知道。
正如狂欢节时人们常说的那样：狂欢时，你在交叉路口丢失了东西，你会在连接它的路上拾到东西。有所失，就有所得，零从来没有被用在数字末尾使我们失去了准确性，但也使我们得到了灵活多变。由于没有零在数字的末尾，我们将不能区分出2，20，200这些数字，所以计算乘法2×3、20×3或200×3是一样的容易：答案永远是6，然后加上可以凭常识或当时情境得到的数量级。因此，当有人声称灵活多变是这种符号的最大优点时，也就不足为怪了。
在巴比伦后来的岁月中，有人第一次给了“空空如也”一个“居所”和名字，不管这个人是谁，都没给自己留下任何东西。也许那一对楔形符号是对他的历史地位最合适的纪念。
第一部分 透视零第6节 希腊人没有这个字（1）
为什么解决零的表示问题的过程如此旷日持久呢？为什么这以后使用零的步伐仍踌躇不前呢？为什么已经浮出水面又没入水中，若隐若现？原因在于我们思想与语言相互转化的方式，和由此产生的困惑，不管是过去还是现在。这也是一种娱乐，想想我们从格什温（Gershwin）的诗里得到乐趣
我得到了足够的零，
但是一个已足够。
我们怀着强烈的兴趣，反复思考这句看似荒诞不经的话，品位它表面与内涵的不同。
这种似是而非的说法在古代迅速成为流行。公元前十八世纪末的某个时候，编辑整理《奥德赛》（Odyssey，古希腊荷马所作史诗，汉语意思是指长期的冒险旅行——译者注）的歌唱家在奥德修斯（Odysseus，《奥德赛》中的主人公——译者注）刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯（Polyphemos，独眼巨人之一）的故事中研究过它，独眼巨人（Cyclops，独眼巨人家族的任何一个，在这里指波吕斐摩斯，据说从这些泰坦Titans传下来，居住在西西里岛，只有一只眼睛的神——译者注）吃掉了奥德修斯的几个同伴，要不是奥德修斯骗过了他，并刺瞎他的眼睛，剩下的同伴也会成为他的盘中餐。
奥德修斯让波吕斐摩斯喝下烈酒，当独眼巨人叫道：
“再给我一些酒，立刻把你的名字告诉我，以便让我给你一件奇异的礼物让你
称心如意。”
奥德修斯一次又一次倒满他的酒碗，说：
“巨人，你想知道我显赫的名字，但是我要求你
遵守诺言，给我这份奇异的礼物。
事实上，我的名字叫‘没有人＇ ，Outis＇’。我的父亲和母亲叫我‘没有人’，同伴也这么叫我。”
他这么一说，波吕斐摩斯立刻残忍地说：
“‘没有人’，我先吃掉他的同伴，最后再吃‘没有人’，这就是我给你的奇异
的礼物。”
一等巨人醉倒昏迷过去，奥德修斯和他的同伴们就用尖树桩刺瞎了他的眼睛，波吕斐摩斯发出了痛苦的喊叫声，别的独眼巨人都跑来了，他们在他封闭的洞穴前向他呼喊：
“波吕斐摩斯，你为什么被人战胜？
在这样神圣的夜晚，你的叫声让我们无法入睡。
不可能有人敢不顾你的反对正带走你的羊群吧？
不可能有人正在用诡计或暴力伤害你吧？”
残暴的波吕斐摩斯在洞穴中跟他们说：
“我的朋友们啊，‘没有人’正在用诡计和暴力伤害我。”
他的朋友们听到这个以后，劝说他要耐心承受上帝给予的一切，便回到自己的洞穴中。所以奥德修斯和他的同伴们一边逃跑一边嘲笑瞎眼的巨人。
你一定会认为，这个能够整理和津津乐道这样一个笑话的人给“无”一个名字，并象奥德修斯对巨人所做的那样灵活使用“无”也是轻而易举的。但是，在荷马时代或古希腊都没有零的踪迹，事实上，直到亚历山大时代（这个笑话已经不复辉煌的时候）也没有。如果在你面前看不到或思想中也不存在计算板的数位，一个数位上的筹码已经满了要进到前一位而留下一个空白在后面——如果你没有符号来代表