名“牟合方盖”（以下简称方盖，图2）。如果用一个平行于底面的平面去
截立方体，则方盖的截面为正方形，而球截面是正方形的内切圆。刘徽知
道正方形与内切圆面积之比为4∶π，于是由刘徽原■
图1图2
理得到球体积∶方盖体积=π∶4。只要求出方盖体积，整个问题就迎
刃而解了。但刘徽始终未找到求方盖体积的途径，他最后写道：“以俟能
言者”，表达了他解决这一问题的遗愿。
祖■便是一位“能言者”。他继承了刘徽的思想，并吸取了刘徽的教
训，不再直接求方盖体积，而是首先研究立方体内除去方盖的部分。他利
用了图形的对称性，着重研究这部分的
18
，称为“外棋”，相应的方盖
的
8
为“内棋”（图），内棋与外棋共同构成小立方体，它是原立方
3
体的
18
（图）。
4
■
设球半径为R，于高h 处作平行于内棋底面的平面。显然，内棋截面
是一个正方形，设它的边长为a，则面积为a2。由于内、外棋截面的和为
R2，所以外棋截面为R2…a2，由勾股定理得R2…a2=h2（图3 的三角形EHO 中，
EO=R，角EHO 为直角）。这就是说外棋在高h 处的截面积恰为h2。祖■发
现：如果作一个底和高都是R 且有一条棱垂直于底面的倒立四棱锥（图5），
则棱锥在高h 处的截面也是h2。他研究了各体积的关系，提出一条重要原
理：“幂势既同，则积不容异。”其中“幂”是面积，“势”是关系，“积”
是体积。这句话的意思是：在两立体中作与底平行的截面，若对应处的截
面积都相同，则两立体体积相等。（有些学者把“势”解释为“高”，“幂
势既同”则解释为“等高处的截面积恒相等”，亦通。但恐非作者原意，
因为在各种古代文献包括祖■的其他著述中，未曾发现把势作为“高度”
使用的例子。）这一原理被称为“祖■原理”。西方称它为“卡瓦列里原理”，
因为17 世纪的意大利数学家B。卡瓦列里（Cavalieri）重新发现了这一原
理。
根据祖■原理，很容易得到外棋与倒立四棱锥体积相等的结论，而棱
锥体积为
13R 3，所以外棋体积也是
13
R3 ，内棋体积为R3 …
12
R3 =
23
R3 ，
方盖体积为×23
R3 =
163
R3。祖■已经知道刘徽的“方盖与内切球体积
8
之比为4∶π”的结论，所以立即得到正确的球体积公式：
V球= π·
163
R3 ÷4 =
43
πR3
自《九章算术》以来，历经四个多世纪，这一问题终于得到圆满解决，这
是我国数学史上的一件大事。应该指出的是，这一成果也有祖冲之的功劳。
他在批驳戴法兴的“驳议”中说：“至若立圆（球）旧误，张衡述而弗改。。
臣昔以暇日，撰正众谬。”可见他为解决球体积问题进行了有效的工作。
祖■与他父亲祖冲之的数学著述均已失传。据《隋书·律历志》载，
祖冲之“所著之书名为《缀术》”，《旧唐书·经籍志》亦说《缀术》为
祖冲之撰。但王孝通在《缉古算经序》中，则把《缀术》说成祖■所撰。
现在已很难对该书的作者作出准确判断了。估计主要工作是祖冲之做的，
祖■进行了补充和整理。现存《九章算术·少广》李淳风等注中所引祖■
“开立圆术”，应为《缀术》的组成部分。该书曾在唐代被列为数学教科
书之一，由于内容深奥难懂，故学习年限最长。
祖■对建筑工程也有研究，因此被梁朝任命为掌管工匠和土木建筑的
材官将军。公元514 年，他奉梁武帝之命组织修筑浮山堰（今安徽凤阳），
企图堵住淮水，淹没被北魏占领的寿阳城（今山西寿阳）。他视察地形后，
认为淮河里沙土松散，不适于筑堰，但梁武帝不听。经过一年多时间，浮
山堰勉强筑成了。公元516 年秋天洪水泛滥，浮山堰崩溃，祖■因此获罪，
被捕入狱，判了徒刑。
祖■刑满释放后，到梁武帝的儿子豫章王肖综手下做事。公元525 年，
肖综叛梁降魏，祖■成了魏军的俘虏，软禁在徐州的北魏王子元延明家中。
北魏科学家信都芳了解祖■的科学水平，建议元延明对祖■以礼相待，并
借此机会向祖■学习了许多科学知识。第二年，祖■被送还南朝。由于接
连受到挫折，又到了晚年，他回南朝后便很少从事科学工作了，只是帮助
目录学家阮孝绪编写过天文和数学书的目录。
文献
原始文献
＇1＇（唐）李淳风等注：九章算术·少广，见钱宝琮校点《算经十书》，
中华书局，1963。
＇2＇（梁）沈约：宋书·卷十三·驳议，中华书局，1974。
＇3＇（唐）李延寿：南史·卷七十二·祖■之传，中华书局，1975。
＇4＇（唐）李延寿：北史·卷八十九·信都芳传，中华书局，1974。
研究文献
＇5＇钱宝琮主编：中国数学史，科学出版社， 1964。
＇6＇李迪：祖冲之，上海人民出版社，1977。
陶弘景
曾敬民
陶弘景字通明，号华阳隐居，谥贞白先生。丹阳秣陵（今江苏南
京）人。南北朝刘宋孝建三年（公元456 年）生；梁大同二年（公元
536 年）卒。医学、药学、化学。
陶弘景出身于有名望的世族家庭。据其侄陶翊撰写的《华阳隐居先生
本起录》记载，陶弘景的祖父陶隆善骑射、好学读书、兼解药性，常以替
人治病疗伤为己务，后因功封为晋安侯。父陶贞宝，曾任南台侍御史，作
过孝昌县令，亦精通医学、深解药术，并善草隶书、博涉子史书籍，甚得
权贵赏识。母亲郝氏，精于佛法。这种好学读书、多才艺、深解药术的家
庭传统，对陶弘景的成长产生了重要影响。
由于家庭的熏陶和教养，陶弘景从小聪明好学，6 岁便能书写条幅。7
岁读《四书》、《五经》，作文立意颇新。10 岁读葛洪《神仙传》一书，
从此深受道家思想影响。
青年时期的陶弘景爱好广泛，知音律，爱弹琴，又工于草隶书，字体
劲媚，别具风格。19 岁时他就被齐高帝招聘为诸王侍读，总管文笔记事。
此时，陶弘景虽身在朱门，却心向道术，先拜兴世馆主孙游岳为师，学习
道家符图经法，继而远近博访，至大洪山、太平山、天台山等地游历，谒
僧访道，学习炼丹术和医药学。
陶弘景32 岁时被诏为奉朝请。当时正处南北混战时期，朝政昏乱，骨
肉相残。陶弘景非常厌倦这种官场生活，于37 岁时，毅然请求隐退。齐武
帝（萧赜）感其至诚，诏赐丝帛、茯苓、白蜜等以供服食。
此后，陶弘景一直隐居茅山（即句曲山，在今江苏句容、金坛两县之
间），一面修道炼丹，一面为人治病和从事著述，自号“华阳陶隐居”。在
隐居期间，他常出山游历，寻访妙药，收集验方。他爱施舍，济穷困，而
不图名利，具有良医的美德。当时东阳（今浙江金华）郡守沈约，钦佩他高
尚的节操，多次写信请他出山做官，他都没有接受。公元502 年，萧衍篡
夺了齐朝政权，陶弘景遣弟子奉表，建议改国号为“梁”，武帝接受了他
的意见。自此之后，梁武帝每逢国家有吉凶征讨大事，常派人到茅山向他
咨询，“时人谓为山中宰相”。武帝曾多次请他出山，陶弘景始终不肯依
就。大同二年（公元 536 年），陶弘景 81 岁，无病而卒。临终嘱咐弟子“薄
葬”，不须沐浴，不须棺材，只用两层草席。
陶弘景一生著述甚多。据初步统计，共约80 余种。内容涉及道教、儒
家经典、天文、历算、地理、兵学、医学、药学、炼丹术、文学、艺术、
史学等等方面。
他撰述的有关道教典籍，如《真诰》、《登真隐诀》、《真灵位业图》
等等，都是晋、宋、齐、梁时期道教史上重要的经典。仅就道教方面而言，
陶弘景的贡献主要有三：一是弘扬了上清经，开创了茅山宗；二是发展了
道教的修炼理论；三是为道教建立了神仙谱系。他是道教的创建和改造时
期的一位重要代表人物，对以后道教的发展影响甚大。由于他对道教的建
设和改造方面的贡献，道教到南北朝末期更加成为一个独立的宗教组织。
早期道教的信徒都认为，人可以通过各种各样的修炼而达到长生不
死，成为神仙。要达到长生不死、成为神仙的根本问题是如何使得神形不
离而永存。关于如何炼养形神，陶弘景也提出了一套办法。他认为光靠某
一方面的炼养是不行的，只有多方面配合起来修炼才能实现长生成仙的目
标。具体做法应是：“假令为仙者，以药石炼其形，以精灵莹其神，以和
气濯其质，以善德解其缠，众法共通，无碍无滞”。“以药石炼其形”，
指要炼出金丹来服食，这属于外丹，陶弘景和葛洪一样是很注重外丹的。
“以精灵莹其神，以和气濯其质”，是指要炼养“精气”和“和气”，这
属于内丹，包括存思、行气、导引、房中等方术。“以善德解其缠”，指
用道德修养来解除人们内心的困惑，陶弘景把积善修德也看成是成仙的重
要条件之一，并把各种成仙的修炼方法结合起来，企图解决成仙理论和实
践的脱节问题。然而陶弘景本人在实践中也无法达到其长生不死的目标。
于是他在晚年接受了佛教的因果报应学说，认为修炼的效果主要不取决于
炼养功夫，而是取决于前生修功积德的“缘业”。他认为自己长期修身炼
丹，其不能成仙之故，就在于“缘业不及”。这种学说对后世影响很大。
如唐代大诗人白居易虽然炼丹不成，但并没有对仙丹失去信心，只是他相
信“长生须有籍”，自己与仙道无缘。
养生成仙虽然是虚妄的，但陶弘景提出要从各方面来修炼形神，这对
我国医药学和化学的发展有很大影响。由于要“以药石炼其形”，使他对
中药学、中医学和炼丹术作了大量的研究；由于要“以精灵莹其神，以和
气濯其质”，使他对养生学和气功术也做出了贡献。
在医药学方面，陶弘景撰有《本草经集注》7 卷、《名医别录》3 卷、
《补阙肘后百一方》3 卷、《药总诀》2 卷、《陶氏方》3 卷、《效验方》
5 卷等。这些书早已散失，今仅存敦煌石室藏六朝时手抄本《本草经集注》
叙录残卷和吐鲁番出土的仅存燕屎、天鼠屎、鼹■鼠、豚卵四味药的《本
草经集注》残卷。今本《肘后备急方》中虽保存了《补阙肘后百一方》的
部分内容，但陶弘景增补内容大多已与葛洪《肘后卒救方》内容混淆在一
起。《本草经集注》和《名医别录》的主要内容保存于《证类本草》和《本
草纲目》等书中。
自《神农本草经》问世之后，又陆续有《蔡邕本草》、《吴普本草》、
《李当之药录》等新的本草著作出现。但这些都是在《神农本草经》的基
础上，增加了魏晋以来所发现的新药，加以整理总结而成，其体例都不够
系统，内容也比较简单，并且有许多错误。鉴于此，陶弘景于公元494—
500 年间开始对以前本草进行勘订整理。他不仅将《神农本草经》所载的
365 种药加以订正发挥，又增补了汉魏晋以来张仲景、华佗、吴普、李当
之等名医副品药物365 种，共计730 种，汇编成《本草经集注》。在撰写
时，凡是《神农本草经》的内容都用朱笔抄写，张仲景等名医增录的资料
用墨笔抄写，陶弘景自己的注文用小字抄写，这样就保存了《神农本草经》
的原来面貌，致使《神农本草经》的原文能流传下来。
陶弘景对药物学的贡献主要有以下几个方面：第一，首次将《神农本
草经》中的上、中、下三品分类改为按照药物在自然界中的属性分类。他
将药物分为玉石、草、木、虫兽、果菜、米食、有名未用等七类，除有名
未用一类外，其余每类再分为上、中、下三品。第二，对药物的性味、产
地、采集、形态、鉴别、炮制以及应用等方面均有新的论述。在《本草经
集注》中，他对于药物的寒热性味用朱、墨点予以区别，以朱点为热，墨
点为冷，无点为平。他将药性分得更为细致，共分为寒、微寒、大寒、平、
温、微温、大温、大热8 种，使当时人们对药性的认识有了进一步的提高。
陶弘景认为药物的产地和采制方法与其疗效有密切关系，并对药用植物的
形态鉴别极为重视，例如他说：“术有两种，白术叶大有毛而作桠，根甜
而少膏，可作丸散用；赤术（苍术）叶细无桠，根小，苦而多膏，可作煎用”。
第三，最早提出了“诸病通用药”名目，列举出80 余种疾病的通用药物。
这不仅给医