博学称著于世，被废的皇太子杨勇欲召而用之。隋文帝得知此事，便敕令
二刘入川事蜀王杨秀，这大约是隋文帝和新立太子杨广惧怕满腹经伦、且
精于天算之学的二刘见用于杨勇，将有碍于他们的政治安排，而作出的迅
速果断的决定。可能由于二刘均已年老不愿背井离乡而入川，也可能他们
对杨秀有什么成见，皆拖延不往，杨秀闻而大怒，便派人将二刘披枷带锁
押解至成都，将刘焯充军，令刘炫为门卫，以羞辱之。稍后才又令二刘作
典校书籍的工作。这样二位通儒大才却因为与他们无关的政治斗争，蒙受
了如此巨大的冤屈，不能不令人悲愤与哀伤。
仁寿二年底（公元603 年初），二刘获准返回京师，刘焯又与诸儒一起
修订礼、律，并任以云骑尉之职。虽然经过这样一番大周折，刘焯仍继续
进行历法的研究，坚持必须改历的主张。
仁寿四年（公元604 年）刘焯又上书皇太子杨广，一方面实事求是地指
出张胄玄历法有可取之处；另一方面又尖锐地指出张胄玄历法中有不少内
容系取自刘孝孙历法和他在开皇三年所献的历法，并指出张胄玄历法大小
失误536 条，还以交食等古今天象对张胄玄历法进行验算，发现其乖舛44
条。最后，刘焯提出了要与张胄玄当面辩论，和通过实际检验以判别历法
优劣的要求。这些都表现了刘焯极大的自信和实事求是的科学精神。同年，
刘焯还上呈论律吕之书，这是关于音律学的研究成果。
大业元年（公元605 年）隋炀帝杨广登基后，令刘焯与张胄玄两相辩
论。张胄玄以皇极历在推求月朔时以定朔法为算，势必出现连续三个大月
或连续三个小月的状况，不符合传统的月朔安排方法为由，责难皇极历非
是；刘焯则据理力争，以驳张胄玄历，双方互相驳难，是非不决。这当是
刘焯参加的第四次历争受挫。同年，刘焯还作论浑天之说上呈，提出了以
实测来检验夏至日影长差一寸，两地相距千里的说法的重要建议。
在仁寿、大业之交，是刘焯对天文历法的研究达到炉火纯青的年代，
但他的历法是否被采用依然悬而未决，他的重要建议未被采纳，他对音律
学的研究心得不被重视，这对于刘焯的打击是十分沉重的，作为对这极不
公正的现实的一种抗议，刘焯又罢归故里，以待历史的判决。
大业四年（公元608 年），张胄玄历推算日食失验，隋炀帝召见刘焯，
欲改行皇极历。可是，其时袁充正得到隋炀帝的宠信，他与张胄玄一起力
排皇极历，遂使隋炀帝犹豫不决，欲行又止。大业六年（公元610 年），刘
焯去世，改历之议猝然而止。这是刘焯参与的第五次历争。
自开皇三年到大业六年的20 余年里，在刘焯参与的五次历争中，第四
次主要由于落后的传统观念作祟而导致失败，其余四次则明显地受人际关
系和政治因素的影响，而并不以历法自身的优劣为断，即刘焯五次都是光
荣的失败者，他也因此遭受了不少磨难，但刘焯则不折不挠，奋争不息，
至死不渝，为历法的进步奉献了毕生的心血。在刘焯的皇极历中颇多创新，
术士咸称其妙，对后世历法产生过相当大的影响，历史将不会忘记这位多
灾多难、几被埋没的天文学家的业绩。
在皇极历中，刘焯给出了一批十分精确的天文数据：在刘焯以前各历
法所取近点月长度值的误差多在5 秒左右，甚至有达10 余秒者，而刘焯取
其值为27
1255
日，误差仅0。8秒，精度远超前人，而且与后世历法相比
2263
较，该值的精度亦属上乘。对于月亮每日平均行度，刘焯取13。36879 度，
与之相应的恒星月长度则为27。321675 日，误差为1。3 秒，它较前代诸历
法（误差多为5 秒左右）的精度也高得多。他取食年长度为346。619338 日，
误差为24 秒，其精度也是前所未及的，后世也只有唐末的崇玄历（误差15
秒）和北宋末的纪元历（误差7 秒）超过了它。刘焯还最早提出了黄道岁差的
概念和具体数值，这一概念是从他的先辈所发明的赤道岁差概念引申出来
的。在计算太阳行度时，计入黄道岁差的影响，较以赤道岁差入算要科学
和合理得多，这大约便是刘焯阐明和采用黄道岁差概念的出发点。
刘焯所用的黄道岁差值为年差1
409 5 。
度，这相当于76。53年差度。与
1
46644
该值相应的赤道岁差值为83。5 年差1 度，这个数值的精度比前代各家都要
高，而且对唐代以及北宋若干历法产生很大的影响。对于其他一系列天文
数据，皇极历也各取新值，其精度也大都与前代历法持平。
关于天文表格的编制，皇极历也有所改良或创新。如对于月亮运动不
均匀改正数值表（月离表）的定量分析表明：其月亮过近地点时间的误差为
0。47 日，达到了历史上较高的精度；其月亮每日实行度的测算误差为9。4′，精度高于前代各历法（误差在10。5′至27。1′不等），以后也只有唐末
崇玄历的精度（误差为7。0′）超过了它。可见皇极历的月离表是历代最优
秀的历表之一。皇极历是我国古代现存最早的给出完整的太阳运动不均匀
改正数值表（日躔表）的历法，它很可能受到北齐张子信、刘孝孙等人有关
方法的影响。对该表的定量分析显示：二十四节气太阳实行度分与平行度
分之差的测算误差为25。2′；因太阳运动不均匀而加于平朔的日分改正值
的误差为3。4 刻，到唐一行大衍历以后的日躔表才从总体上超过这一水
平。可是，皇极历的日躔表存在三个大缺欠：一是它以二分和二至时太阳
的盈缩度相同；二是对二分前2 个节气太阳盈缩度的测算存在较大的误
差；三是对太阳中心差极值的测算也偏大。这些都极大地损害了对太阳运
动不均匀性的整体规律的描述，也降低了日躔表的整体精度。在皇极历中，
对二十四节气昼夜漏刻长度、昏旦中星度及月亮入交去黄道（即求月亮极黄
纬）等表格也作了重新测算，其精度仅保持在前代的水平上。崭新的数学方
法的发明和应用，是皇极历的又一重大特色。其新法主要有等间距二次差
内插法、等差级数法和坐标变换法三种。关于等间距二次差内插法的算式
可以概括为
t D1 ＋D2t t2
T = T0 ＋ · ＋ （D1 …D2） …2（D1 …D2）
l 2l 2l
欲求任一时日月亮的极黄纬值，上式中的T 即为该值的10 倍。t 系指
该时日与最临近的一次月亮过黄白交点时刻之差，1=7356366（“交法”），
T0 为该日的月亮极黄纬值，△1 和△2 分别为该日后相邻两日的T0 值之差。
T0（“衰积”）、△1 和△2（“去交衰”）均可由月亮入交去黄道表查得。由
上式可求任一时日太阳实行度与平行度之差T（后用T*表示），式中的t 系
指某节气初日与所求时日的间距。l 为一节气的日数，对于秋分
后到春分前的各节气， t =
16
× = 14 54 日；对于春分后到秋分前的各
10 。
11
11
1545 日。它们分别是秋分到春分，和春分到秋分的每
节气， l=
17
× = 。
一个定气日数平均值的约数，其准确值应分别为14。76 日和15。68 日。T0
指某节气太阳实行度与平行度之差。△1 和△2 分别为某节气后相邻两节气
的T0 之差。T0（“衰总”）、△1 和△2（“躔衰”）均可由日躔表查得。
由上式可求因太阳运动不均匀导致的平朔到定朔的改正值T（后用T⊙
示之）。式中的t 系指某节气初日与平朔时刻的间距，l 的含义同上述，T0
为某节气因太阳运动不均匀导致的平朔到定朔的改正值，△1 和△2 分别为
某节气后相邻两节气的T0 之差。T0（“迟速数”）、△1 和△2（“陟降率”）
亦可由日躔表查得。
由上式可求因月亮运动不均匀导致的平朔到定朔的改正值T（后用
时刻之差，l=1 日，T0 为同该日月亮实行度与平行度之差相应的时刻值，
△1 和△2 分别为同该日后相邻两日T0 值有关的数值。T0（“■■积”）、△
1 和△2（“加减”）都可由月离表中查得。
有了以上二术，则有
这就是皇极历计算定朔的方法，是我国古代最早同时虑及日、月运动不均
匀对真正合朔时刻影响的定朔法，在我国古代历法史上占有很重要的地
位。此外，以上四处所用等间距二次差内插法，对于有关天文量计算精度
的提高，无疑起了良好的作用，因为它们能较好地反映这些天文量变化的
客观状况，所以，该法同时在数学和天文学史上都有重要的意义。它和定
朔法一起也都对后世历法产生了深远的影响。
皇极历还首创了等差级数的表述和计算方法。如在应用昼夜漏刻长度
表计算任一时日的昼夜漏刻长度（K）时，刘焯给出了二十四节气初日的初数
（L），又给出相邻两节气间每日增或减的等差数（△），如“每日增太”、“每
日增少”等等。已知该日所入节气及入该节气后的日数（t0），
t0
即可求出。t0 △（t0 =0。1 ，。，15）。由昼夜漏刻表查得该节气初日的
夜半漏刻值（0） （K0），则
0
K = K ±
1（t L ±。
tt D）
00 0
a0
式中a 为一常数。在坐标变换、交食和五星运动计算的有关问题中，也应
用了等差级数的表述与计算法。该法与等间距二次差内插法一样，具有同
样重要的意义。
关于黄赤道差的计算法，自张衡发明并为刘洪首次引入历法后，沿用
了数百年，一直到刘焯皇极历才又提出了新的算法。刘焯以每经赤道四度
为一限，这同张衡以五度为限没有什么本质的区别，但刘焯以为每一限黄
赤道差的数值是以等差级数变化的，如“每限增一”、“每限损一”等等，
这较张衡以每一限黄赤道差为一常数有所改进。据研究，刘焯黄赤道差计
算法的误差为0。24°，与张衡法的水平相当。刘焯在坐标变换法方面更主
要的贡献是首创了黄白道差（黄道度与白道度之差）计算法，对该法的描述
方式与黄赤道差计算法相同。研究表明，该法的误差为0。13°。这些新算
法也对后世产生很大的影响。
在吸取前人特别是张子信等人的研究成果，并经长期探索以后，刘焯
还创立了一整套日月交食的推算法，其创新处有以下6 个方面：
第一，首创了月亮入交定日（P）和太阳入会定日（q）的计算法：
经研究，以该二式计算月亮、太阳与黄白交点的时距（P 和q）时，既考
虑了太阳、月亮运动不均匀性的影响，又虑及了黄白交点退行的影响，其
天文概念十分准确和清晰。
第二，关于交食食限概念的扩充和食分计算法的改进。对于月食食分
式中望差为朔望月长度与交点月长度之差的一半。去交日分即上述P 值。K
至为发生在春分（或秋分）前、后的望日所值节气距夏至的节气数（0—12）；
K 分为发生在春分（或秋分）前的望日所值节气距春分（或秋分）的节气数（0—6），若望日在春分（或秋分）后，K分≡0。S 为去交
该式右边首项的分数部分的天文学含义是：月面直径被遮掩部分与月面直
径的比，而15 系指月面直径的总分数，这一项是继承了前代历家的传统算
法。第二项是与望日所值节气有关的食分改正项，对皇极历所给定的K至
和K分值的分析显示，它实际上已虑及了发生月食时，太阳与近地点（或远
地点）相对位置不同对月食食分的影响，这是一个极重要的发现。而第三项
则是一个错误的改正值，因为当S 大时当小，所以加这一项改正是适
此为必定发生月全食的最大限度，这也正是该式中第四项的含义。在皇极
S=14，代入该式得P=96 分=1。02°，这是可能发生月全食的最大限度，这
一概念和数值的阐明，同样具有重要的意义。此外，在该式中，刘焯还包
容了前人已经发明的可能发生月偏食和必定发生月偏食的最大限度的概念
和数值：令g■=0，K至=12，K 分=6，S=14，代入该式得P=1536 分=16。30°；令g、K至、K分、S 均为0，代入该式得P=1460 分=15。49°。上述皇
极历四种月食食限值的误差均在4°—5°间，其中后二种甚至不如前代历
法准确，这是意义深远的开拓进程中的失误。
对于日食食分（g⊙），刘焯也给出了类似的算式：
g⊙ =
望差…去交日分
×15±
M；
望差96
式中M 的大小或正负与日食发生时所值的节气以及距午正辰刻的多少有
关。我们知道：月亮视差的大小是与月亮天顶距的大小成正比的，月亮天
�