“勾三股四径（弦）五”这个勾股定理的特例的知识了。在卷上之二中
更有“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪（斜）
2 2 2
至日”。这是明确的“勾＋股 =弦 ”的表述。所以中国发现勾股弦定
理至少比古希腊毕达哥拉斯早一个世纪。
由于战争和生产的需要，春秋战国时期各地修建了不少城防和水利
工程。这就需要运用大量的几何知识进行距离、高低、厚薄、土方等测
量。《墨子》中就记载了有关城墙、城门、垛口、城楼的一系列计算问
题，都与立体几何有关。 《春秋》记载，公元前594年鲁国首先实行对
公、私土地一律按田亩征税的“初税亩”制度，这就要对各种形状的面
积进行丈量计算。可以相信，当时对正方形、长方形、三角形、梯形和
圆等各种面积，已有了计算法则。
春秋战国时期的文献中，有不少关于测量绘图的记载。测量包括直
线测量、水准测量和垂直测量，分别称为“绳墨”、“水”和“悬”。
“绳墨”就是打墨线以取直，“水”就是以水平面为标准测量坡度和高
程；“悬”就是用铅垂线以定竖直。
在制造各种农具、车辆、兵器和乐器中，常会遇到不同部位有不同
角度的问题，所以当时已形成了角的概念以及衡量角度大小的一些单
位。 《考工记》把角称为“倨句”（j） g#u，音巨勾），“倨”就是钝，
“句”就是锐。直角被称为“倨句中矩”或“一矩”。在“磬氏”节中
讲“磬氏为磬，倨句一矩有半”。这是说石磬背部折角的大小是一个直
角（矩）再加上半个直角，即135°。
（3）组合数学思想的萌芽
流传至今的最古典籍之一《易经》，是符合体系与概念体系的统一
体。它的符号体系中包含有严格的数学逻辑性。这种符号体系是由代表
“阴爻”的“”和代表“阳爻”的“—”两种基本符号通过排列组合
而得出的“四象”、“八卦”和“六十四卦”的集合。
2
把“—”“”分别与“—”、“”排列一次，共有2=4种组合，
就是“四象”；再把“—”、“”与“四象”各配一次，即由三个爻
3
组成一组，共有2=8种组合，就是“八卦”。八种符号分别象征天（）、
地（ ）、水（）、火（ ）、风（ ）、雷（）、山（）、泽（ ）
八种自然事物，再分别赋予乾、坤、坎、离、巽、震、艮、兑八个卦名，
同时还分别代表八个方向。把八卦的每一卦都和八卦相配一次，即取六
6
个爻组成一组，共有2=64种组合，即“八八六十四卦”。由于“阴”
和“阳”是中国古人对一切事物和现象中两种对立力量的高度概括，因
而由“阴”和“阳”两种符号排列组合而形成的“六十四卦”，就可以
表示出事物和现象的六十四种可能的状态；卦爻从下 （第一个初爻）到
上 （第六个上爻）的每种排列，就可以表示出事物的某种发展过程。这
样， 《周易》就给出了一个朴素的、具有一定逻辑结构的关于事物发展
变化的描述体系。
卦爻还包含了二进制的数学思想。如果把阴爻“”以“0”代替，
… Page 86…
把阳爻“—”用“1”代替，可以看出易卦就是二进制数码组。八卦和二
进制数码的对应关系为：
坤 艮 坎 巽 震 离 兑 乾
卦 画
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7
①
所以，六十四卦也可以表成二进制展开式和相应的自然数序 ：
000000 000001 000010 000011 000100 000101 000110 000111
00 01 02 03 04 05 06 07
001000 001001 001010 001011 001100 001101 001110 001111
08 09 10 11 12 13 14 15
010000 010001 010010 010011 010100 010101 010110 010111
16 17 18 19 20 21 22 23
011000 011001 011010 011011 011100 011101 011110 011111
24 25 26 27 28 29 30 31
100000 100001 100010 100011 100100 100101 100110 100111
32 33 34 35 36 37 38 39
101000 101001 101010 101011 101100 101101 101110 101111
40 41 42 43 44 45 46 47
110000 110001 110010 110011 110100 110101 110110 110111
48 49 50 51 52 53 54 55
111000 111001 111010 111011 111100 111101 111110 111111
56 57 58 59 60 61 62 63
此外，春秋战国时期，在实用数学知识丰富积累的基础上，一些思
想家也开始探讨一些抽象的数学理论问题。在《墨经》的《经上》和《经
说上》中，记载了墨家关于数学、特别是几何学 （形学）问题的论述。
这些论述包括了有关“平、“直”、“体”、“同长”、“中”、“圆”、
“方”、“倍”、“厚”、“端”、“间”、“盈”、“撄”以及空间
的“有穷”、“无穷”和时间的“始”的定义和说明，包含了丰富的数
理科学思想和严密的逻辑推理。在《经下》和《经说下》中，有关于“十
进位值制”和用“进前取”与“前后取”两种方法分割线段而得到“不
可■”的“端”（点）的说明。在《庄子·天下》篇中，记载了名家惠
施和公孙龙等辩者所提出的一些与数学思想有关的论题。如“至大无外
谓之大一，至小无内谓之小一”、“飞鸟之影未尝动也”、“镞矢之疾，
而有不行不止之时”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。所谓“大
一”和“小一”，从物理学的角度可理解为“宇宙”和“原子”；而从
数学的角度来说，“大一”可理解为空间、时间的整体，“小一”可理
解为空间的“点”和时间的“瞬时”。第二条说鸟在飞翔过程中，每一
瞬时投在地面上特定位置的影子是没有移动的；这和第三条所说的“飞
矢”的情况一样，射出的箭每一瞬时都占有空间一个特定的位置，因而
在该瞬时可以说是静止在这个位置上的。但它同时又正在离开这个位
① 按照宋代邵雍的“六十四卦方图”译排。
… Page 87…
置，这就是“不行不止”的状态。第四条中的“棰”指古代一种策马杖，
是一尺来长的木棒。文中说每天从所剩下的长度中取其一半，永远也不
会取完。从数学上说，这个命题相当于
L可以无限地趋近于零，但无论n为多么大的数，L也永远不会等于零。
七、古代生物学和医学知识
1。西亚、北非和印度的古代医学和生物学
农业是“应用”生物学的最早形式之一。随着农业的发展，古代生
物学知识也逐渐丰富起来。在两河流域的泥版书上，可以看到100种动
物和250种植物的名称；他们还对动物作了世界上最早的分类。马可能
最早是在欧亚草原上被驯养的。到公元前11世纪左右，经过长期驯养的
马个大力壮，已可乘骑和驾驭战车。这表明人们已掌握了不少关于精心
饲养、选择良种的知识了。他们在实践中知道了当椰枣树开花时进行人
工授粉可以增加椰枣的产量。
在公元前4000年，南美索不达米亚人就已开始形成有系统的医学思
想，产生了巫术和世俗经验相结合的亚述巴比伦医学。从大量泥版文献
中，可以看出巫术医学慢慢演变为僧侣医学以及专门从事医疗活动的专
职医生出现的过程；表明医疗技术越是发展，与巫术迷信的联系就越少，
科学的成份也就越多。
古巴比伦人认为，血是生命机能的输送者，因而认为藏血器官肝脏
是重要的生命所在。由于认为生命是靠血液输送的营养得以延续的，因
而认为体液的运行是十分重要的，它的丢失或运行受阻都会导致紊乱和
病患。
巴比伦人认为，诸大神能左右人和动物的生命。美索不达米亚最古
老的医神是月神，掌管药草的生长，因此有些药草只能在月光下采集；
由于植物与神有这种密切的关系，所以认为药草有消灭魔鬼的能力。这
是巫术与经验医学相结合的一个生动的例子。
亚述和巴比伦的医生们还常外出会诊，远至埃及；医生出诊时携带
着出诊包，其中有绷带、器械和药物等。在著名的《汉谟拉比法典》中，
医生从祭司中独立出来被确认为是一种专门职业；对外科医生的手术收
费以及出现医疗事故的处罚等，都有具体的规定。
在他们的医学泥版书中，已记载有咳嗽、胃病、黄疸、中风、肺痨、
鼠疫、风湿、肿瘤、眼病和耳病等多种疾病的名称。对精神病已能鉴定，
认为是由魔鬼或创伤所致；牙痛被认为是由于虫蚀引起的；黄病、虚痨
都是由魔鬼引起的。对各种疾病的症状，也有详细的描述。
医生的处方包括病名、药名和药物用法三部分。常用的药物已有150
多种，包括各种植物的果实、叶、花、皮和根等，藕、橄榄、月桂、桃
金娘、鸡尾兰、大蒜；动物的各个器官脏器，一些动物的油脂被制成药
膏用于治疗；还有一些矿物如明矾、铜、铁等。此外还使用多种秽物，
大约是用来魇胜魔鬼以驱除病患的。制剂有丸、散、灌肠等，用器械将
药汤灌入阴道或直肠。体操疗法和按摩也已常被采用。
… Page 88…
古代埃及在天文学和数学方面虽不及巴比伦，但在医学方面则远远
超过了巴比伦。现存埃及的古老医学文献有六七部比较完整的纸草书，
大都著于公元前1700年到前1200年之间。在这些纸草书中虽然还掺杂
有宗教和巫术、占星的咒语、符箓和魔鬼的内容，但却记述了许多疾病
症状、准确诊断和治疗的合理处方与方法，其中涉及到内科、眼科、妇
科和外科的疾病；还记载有解剖学、生理学和病理学的一些知识以及良
好的卫生法等。这些纸草书表明，古埃及的医学很早就从巫术中分离出
来了。
埃及人对生命的观念与亚述巴比伦人不同，他们认为呼吸是极重要
的生命功能，因为人死时呼吸的停止在血液流动停止之前。他们由此产
生了“灵气”的观念，这是埃及医学的重要特征。不过他们也很重视血
液的重要作用，干尸涂以红色，目的是给予血的活力；用红色石头做避
邪物，象征女神爱西丝的血。埃及人的解剖知识十分丰富。他们从第一
王朝时期就开始制作木乃伊，因为相信人死后会生活在另一个世界，所
以要竭力保存好尸体。在宗教活动中也经常解剖动物，这都为解剖知识
的积累提供了条件。在“埃伯斯纸草书”中认识到心脏是全身血液的中
枢，并知道“有众多血管通连于身体的各个部分”；还提到用手指触摸
在心区、头、手、臂、腿等处都可觉出心动。古埃及人已经知道了重要
血管的分布，还了解大脑对人体的重要作用；他们认为寄生物是�