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一当我们进到数的领域，这种事态就完全变了。我们不能说单个的或孤立的数。数的本质总是相对的，不是绝对的。一个单个的数只是一个一般的系统序列中的一个单个的位置而已。它不具有它自己的存在，没有自足的实在。它的意义是由它在整个数列中所占的位置来决定的。自然数的系列是一个无穷系列。但是这种无穷没有对我们的理论知识设定任何界限。它并不意味着任何不确定性，并不意味着一种柏拉图意义上的无限者 Apeiron ，而是恰恰相反：在数的进展中，我们不会遇到外在的限制，不会遇到一个 “ 终极项 ” 。我们在这里所发现的是由于一种内在的逻辑原则而形成的限制。所有的项都被一个共同的纽带联结在一起。它们来源于同一种生成关系，这种关系把一个数 n 与它的直接后继数联系起来 n ＋１ 。从这种非常简单的关系中，我们可以推导出整数的全部特性。这种系统具有的与众不同的特征和最大逻辑特权就是它的彻底透明性。在我们现代理论中 —— 在弗雷格和罗素的理论、皮阿诺和戴德金的理论中 —— 数已经失去了它的全部本体论的奥秘。我们把它看成是一种新的强有力的符号体系；对一切科学的目的来说，这种符号体系比言语的符号体系具有无比的优越性。因为我们在这里所发现的不再是孤立的语词，而是按照完全相同的基本程序而排列起来的项，因此，它向我们展示了一种清晰而明确的结构法则。
然而，毕达哥拉斯的发现在自然科学的发展中仅仅意味着第一步。整个毕达哥拉斯的数论在当时突然由于一个新的事实而遭到怀疑。当毕达哥拉斯派学者们发现，在一个直角三角形中，对着直角的那条线与其它的两条边没有任何共同的计量单位时，他们不得不面临一个全新的问题。在整个希腊思想的历史上，尤其是在柏拉图的对话中，我们都能感到这种困境的深刻反响。它标示着希腊数学中的一个真正危机。没有一个古代思想家能够用我们近代的方式即靠引入所谓的 “ 无理数 ” 来解决这个问题。从古希腊的逻辑和数学观点来看，无理数是一个语词矛盾的说法。它们是一个不可思议不可言说的东西。因为数一直都被定义为一个整数或整数之间的一种比例，因此一种不能用同一单位计量的长度就是一种不能用任何数来表达的长度：它公然蔑视和嘲笑数的一切逻辑力量。毕达哥拉斯学派在数中寻求和发现的，本来是一切种类的存在与一切形式的认识 —— 知觉、直观、思想 —— 之间的尽善尽美的和谐。在那里，算术、几何学、物理学、音乐、天文学似乎形成了一个唯一而连贯的整体：天地万物成为 “ 一种和谐和一个数。 ” 然而，当人们发现了不能用同一单位计量的长度之后，就摧毁了这个论点。从此以后，在算术和几何学之间、在不连续的数的领域与连续的量的领域之间，不再有任何真正的和谐。
为了恢复这种和谐，数学和哲学思想的研究花费了许多世纪的时间。一种数学连续统的逻辑理论是数学思想最近的成就之一。没有这种理论，新的数 —— 分数、无理数，等等 —— 的全部创造似乎就总是非常成问题和靠不住的事业。如果人类心智能够以它自己的力量随意创造一个新的事物领域的话，那我们就不得不改变我们关于客观真理的全部概念了。但是在这里只要我们考虑到了数的符号性质，这种困窘也就算不了什么了。倘若这样的话那就十分明显：在引入新的类型的数时，我们并没有创造新的物体，而是创造了新的符号。在这一点上，自然数与分数、无理数是一样的：它们也不是对具体事物、物理对象的描述或映象，而是表达了非常简单的关系。数的自然领域的扩大，它之延伸到更大的范围，仅仅意味着引入了新的符号，这种符号易于描述更高层次的关系。这种新的数不是简单关系的符号，而是 “ 关系的关系 ” 的符号， “ 关系的关系的关系 ” 的符号，等等。所有这些并不与整数的性质相矛盾，而是说明和进一步证实了这种性质。为了填补整数 它是不连续的量 与在时空连续统中的物理事件世界之间的裂缝，数学思想一定要找到一种新的工具。只要数一直是一种 “ 物 ” ，是一种自身存在并且通过自身被认识的自在实体 substantiaquae in se est et per se concipitur ，那么这个问题就始终是不可解决的。但是既然数是一种符号语言，因此唯一需要的就是以首尾一贯的方式发展这种语言的词汇、词法和句法。这里所需要的并不是数的本性和本质上的变化，而只是意义的变化。一门数学哲学必须证明：这种变化并不会导致模棱两可或自相矛盾的结论，必须证明：那种不能由整数或整数之间的比例来确切地表达的量，由于引入了新的符号而成为完全可理解的和可表达的了。
承认一切几何学问题都能作这种变换 —— 这是近代哲学最初的伟大发现之一。笛卡儿的解析几何对广延与数之间的这种关系提出了第一个令人信服的证明。从此以后几何学的语言不再是一种特殊的方言了，它成了一种远为普泛的语言 —— 普遍的数学 —— 的一部分。但是在笛卡儿那里，还不可能以同样的方式去制服物理世界 —— 物质与运动的世界。他想要发展数学物理学的企图失败了。我们物理世界的材料是由感觉与料 sense data 组成的，而这些感觉与料所描述的那些执拗不驯的事实似乎抗拒着笛卡儿的一切逻辑和理性思维的努力。他的物理学仍然是由一些任意的假定组成的网状系统。但是，如果说笛卡儿作为一个物理学家可能在他的手段上犯错误的话，那么他在他的基本哲学目标上却是正确的。从这以后，这个目标就被清晰地理解并且牢固地确立起来了：物理学的各分支都趋向于同一个目标 —— 力图使整个自然现象的世界都处于数的管辖之下。
在这种总的方法论理想方面，我们看不出古典物理学与近代物理学之间有什么分歧。量子力学在某种意义上是古典的毕达哥拉斯理想的真正复活、更新和证实。但是在这里也必须引入一种更加抽象的符号语言。当德谟克利特描述他的原子结构时，他曾求助于从感觉经验世界中获取的相似性。他给出了原子的一种图象、映象，而这种映象是与我们宏观世界的普通物体相类似的。原子以它们的形状、大小及其各部分的排列而互相区别。它们的联结是用物质的连接来解释的：单独的原子都具有钩和孔、球和窝，从而使它们成为可勾结的。所有这些形象化的描述和比喻式的说明在我们近代原子理论中都已经消失了。在玻尔的原子模型中没有任何这类形象化的语言。科学不再以普通的感觉经验的语言说话，而是采取了毕达哥拉斯的语言。数的纯粹符号体系取代并且取消了日常言语的符号体系。不仅是宏观宇宙而且连微观宇宙 —— 原子内部现象的世界 —— 现在都不可能用这种语言来描述。这已被证明是开启了一种全新的系统解释。索末菲 Arnoldsommer － eld 在其著作《原子结构与光谱线》的序中写道：
“ 在发现光谱分析之后，没有一个受过物理学训练的人会怀疑，只要物理学家们学会了理解光谱的语言，原子的问题也就能解决了。在光谱学研究的六十多年中积累起来的大量材料是如此杂乱，以致最初看来几乎没法理清了。 …… 现在我们所听到的光谱的语言是原子内部的一种真正的 ‘ 天堂的音乐 ’ ，是整体联系的和弦，是一种尽管有着多种多样的变化但却变得越来越完满的秩序与和谐。 …… 光谱线和原子理论的全部积分规律最初都来源于量子论。大自然正是以这种神秘的推演法演奏着她的光谱乐曲，也正是根据它的韵律调整着原子和原子核的结构。 ”
化学的历史是科学语言的这种缓慢变化的最好最显著的例子。化学踏上 “ 科学大道 ” 的时间比物理学晚得多。许多世纪以来阻碍化学思想的发展并使它停留在前科学概念范围内的障碍决不是因为缺乏新的经验证据。如果我们研究一下炼金术的历史，我们就会发现炼金术士们具有令人惊讶的观察天赋。他们积累了大量有价值的事实，没有这些原始材料的话，化学几乎至今也不可能得到发展。但是表现这种原材料的形式却是极不充分的。当炼金术士开始描述他的观察材料时，他没有任何可供他使用的工具而只有一种充满了意义含糊的术语的半神话语言。他用隐喻和寓言而不是用科学的概念说话。这种含糊的语言在他关于自然的全部概念上都打上了烙印。自然界成了由各种晦涩难懂的性质构成的领域，只有那些领受其秘诀的行家才能理解它。化学思想的新潮流开始于文艺复兴时期。在 “ 医化学 ” 学派中，生物学和医学的思想开始流行。但解决化学问题的真正科学方法直到十七世纪才出现。罗伯特 · 波义耳的《怀疑的化学家》是以关于自然和自然规律的新的一般概念为基础的近代化学理想的第一个伟大范例。然而即使在这里以及以后的燃素说的发展中，我们能看到的也只是对化学过程的定性描述。直到十九世纪末拉瓦锡的时代，化学才学会了使用定量的语言。当道尔顿发现等价或倍比定律时，一条新的道路对化学打开了。数的权力牢固地树立起来了。然而，仍然有大量的化学经验还没有完全服从数的定律。化学元素表在那时只是纯粹经验的列表，它并不依赖于任何确定的原则，也没有显示出明确的系统秩序。但即使这个最后的障碍也被元素周期律的发现而扫除了。每一个元素都在一个首尾一贯的体系中找到了它的位置，而这个位置是由它的原子数目规定的。 “ 真正的原子的数目是这样的数目：在规定每一元素的次序从而把各种化学的亲属关系列成适当的表时，这种数目给定元素在自然体系中的位置。 ” 根据周期律，就有可能预言未知的元素并且依次地发现它们。这样，化学就获得了一种数学的和演绎的结构。
在生物学的历史中我们也能追踪到同样的一般思想趋向。象所有其它的自然科学一样，生物学也不得不从对事实的简单分类开始，而且这种分类也是以我们日常语言的类概念为指导的。科学的生物学给了这些概念更确切的意义。亚里士多德的动物学分类和提奥弗拉斯特的植物学分类都显示出高度的严密性和方法上的条理性。但是在近代生物学中，所有这些较早的分类形式都被一个不同的理想遮盖了。生物学慢慢地进展到了一个 “ 演绎公式化理论 ” 的新阶段。诺士洛 F。S。C。Northrop 教授说：
“ 任何科学在其正常的发展中都通过两个阶段 ——
第一个阶段我们称之为自然史的阶段，第二个阶段则称为在假说上已经成立的理论 postulationally prescribed theory 的阶段。这两个阶段各自拥有一类明确的科学概念。自然史阶段的概念我们称之为由考查得到的概念；而假说成立阶段的概念则称之为由假说得来的概念。一个由考查得来的概念是一种其全部意义都是由某种直接认识到的东西所给予的概念。而一个由假说而来的概念则是这样一种概念：其意义是由包含它的那个演绎理论的诸假说所规定的。 ”
为了实现从单纯可认识的阶段走向可理解的阶段这一决定性的步骤，我们总是需要一种新的思维工具。我们必须把我们的观察资料归属到一个秩序井然的符号系统中去，以便使它们相互间系统连贯起来并能用科学的概念来解释。
数学是一种普遍的符号语言 —— 它与对事物的描述无关而只涉及对关系的一般表达 —— 这种看法在哲学史上是很晚才出现的。而以这种