就是本原的关系了。由此可见，力和动量所以看起来似乎比较简单和比较重要，功和能量的概念所以稽迟很久才被人接受，主要是由于历史偶然性的缘故。事实上它们是互相关联的，任何一方都可以从他方推导出来。
再回到牛顿的定义时，我们还可以用另一个方法逃避逻辑上的循环论证。这个方法虽然不如马赫的方法完备，对有关的问题却有所阐发。牛顿已经认识到，人们从肌肉用劲的感觉得到力的机械概念，他本来很可以从这条道路找到一条逃避循环论证的途径。动力学可以看做是把我们对于运动中的物质的感觉提高到理性水平的科学，正如热学同温暖的感觉有关一样。我们从空间或长度与时间的经验，得到本原的观念；我们肌肉的感觉同样地给我们力的观念。这一感官所粗略地量度出来的等量的力，作用于不同的物体时，将产生不同的加速度，因此我们可以把每一物体的惯性，即对于f力的抵抗，称为它的质量，并可以说，它是用一定的力所产生的加速度a的反比来度量的。因此m＝f/a。这样，质量的
观念就是从一个心理状态，即我们的肌肉对于力的感觉而来的。也许有人会批评这个方法把心理学引到物理学中来，但是，指出这样做，就可以免除物理学中逻辑上的循环论证，却还是有一定意义的。
在这样得到了质量的明确观念之后，我们就从实验中发现物体的相对质量大致是一个常数。于是我们可以提出一个假设说：这个近似的常数是严格真实的，或至少有高度准确的真实性，这样，我们就可以把质量M当作长度L、时间T以外的第三个基本单位。从这个假设得来的无数推论在J．J．汤姆生与爱因斯坦的时代以前，同观测与实验是高度精确符合的。所以这个假设是经过充分的验证的，除了非常特殊的情况外，它还是有效的。
质量既然可以用惯性来量度，剩下来的问题就是找出质量与重量的关系了。所谓重量也就是把物体拉向地球的吸引力。这问题也为牛顿所澄清了。
史特维纳斯和伽利略的实验，表明两个重量不同的物体，W1与W2以同样的速度落地。物体的重量就是地球引力所产生的力，实验的结果证明重力所生的加速度a1与a2是相同的。根据上面所说的质量的定义，两物体的相对质量m1与m2可用以下的关系来确定：
m1＝W1／a1及m2＝W2／a2，
a1＝W1／m1及a2＝W2／m2。
现在我们了解，任何公式的玩弄或任何形而上学的考虑（如经院哲学由亚里斯多德那里得来的）都不能导出两个自由落体的加速度的关系。等到史特维纳斯和伽利略用落体进行实验，才证明a1＝a2是一个事实。但是，这一点既经证明之后，从方程式所规定的质量、重量与力的定义便得：
W1/m1＝W2/m2或W1/W2＝m1/m2
即两物体的重量与它们的质量成正比例。这是一个真正惊人的结果。牛顿指出，这个结果要求重力必须“是从一个原因而来的，这个原因并不是按照其所作用的质点表面的数量而起作用（机械的原因常是这样的），而是按照物体所含的实际质量的数量起作用的”。事实上，牛顿的天文学研究的结果，证明重力的作用必定“贯彻到太阳的中心和行星的中心，而不丝毫减少它的力量”。
伽利略的实验没有达到，也不能达到很大的精确度。巴利安尼更仔细地重新进行了这个实验。他从一点让一个铁球和一个同样大小的蜡球同时坠落。他发现当铁球已落了50呎而到地时，蜡球还差1呎。他正确地解释这个差异是由于空气的阻力，这种阻力虽然对两个球体是一样的，但对于抵抗重量较小的蜡球更为有效。牛顿对于这个结果更加以精密的考察。他从数学上证明一个摆锤摆动的时间必定与其质量的平方根成正比，与其重量的平方根成反比。他又用了不同的摆锤来做仔细而精确的实验，摆锤的大小相同，以使它们所受的空气的阻力相同。有的摆锤是各种物质的实体，有的是空球装上各种液体或谷类的颗粒。在所有的情况下，他都发现在同一地点，同长的摆在度量误差的极小范围之内，摆动时间是相等的。这样，牛顿就以更大的精确度证实了重量与质量成正比的结果，而这个结果本来是可由伽利略的实验推出来的。
数学方面的改进
把数理力学应用于天文问题的一个直接结果，便是需要改进研究中所用的工具——数学。因为这个缘故，刻卜勒、伽利略、惠更斯、牛顿诸人工作的时代，也就是数学知识与技术进步很大的时代。
牛顿与莱布尼茨以不同的形式发明了微分学。发明的先后，后来虽有争执，但看来都是独立发明出来的。变速观念的出现，要求有一种方法来处置变量的变化率。一个不变的速度可以用在时间t所经过的空间S来量度；不论s与t的大小如何，s/t一量是一定的。但是如果速度是变化的，那么要找某一瞬间的速度值，只能就一个差不多觉察不出速度变化的极短的时间来量度在这个时间内经过的空间。当s与t无限地缩小，而成为无限小时，它们的商数即是那一瞬间的速度，莱布尼茨把这一速度写成ds／dt，而叫做s对于t的微分系数。牛顿在他的流数法里，把这个数量写作s，这个写法用来不大方便，现在已被莱布尼茨的写法代替了。我们在这里不过是拿空间与时间来做例子罢了。其实任何两个量，只要是彼此依赖，都可用同样的方法来处理。x对于y的变化率都可写作莱布尼茨的记法dx／dy或牛顿的记法x。
逆转的计算，即微分的总和，或从变率去计算变量本身的方法，叫做积分，常常是比较困难的工作。在研究某些问题时，如牛顿要从球体中亿万个质点的引力去计算整个球体的引力，就得用积分法。阿基米得用了类似的方法去计算面积与容积，但他的方法由于远远超过了他那时代，所以后来就失传了。
含有微分系数的方程式叫做微分方程式。很多物理的问题都可表达为微分方程式；困难通常在于求它们的积分，从而求出它们的解答。有一个事实说明牛顿了解这个原理：他算出了一张数字表，来表达光线在大气中的折射，而所用的方法则无异于列出光线路径的微分方程式。
在《原理》中，牛顿把他的结果改成欧几里得几何学的形式，其中许多结果可能是通过笛卡尔坐标与流数法求得的。微分学迟迟才为人知道；但在莱布尼茨和别尔努利（Bernouilli）所赋予的形式中，微分学却是现代纯数学和应用数学的基础。
牛顿在数学的许多别的分支中也有不少贡献。他确立了二项式定理，提出了很多方程式理论，而且开始使用字母符号。在数理物理学中，除了已经叙述过的动力学和天文学外，他还创立了月球运行的理论，算出了月球位置表，由这个表可以预测月球在恒星间的位置。这一工作成果对于航海有无上价值。他创立了流体动力学，包括波的传播理论，且对流体静力学作了很多的改进。
物理光学与光的理论
单凭他在光学上的成就，牛顿就已经可以成为科学上的头等人物。光的折射定律，即入射角与折射角的正弦之比为一常数，是斯内耳在1621年所发现的。费马则指出，按这条路径前进，通过时间最短。1666年牛顿得到“一个三棱镜来实验有名的色彩现象”，而且他选择了光学来做他讲课和研究的第一个题目。他的第一篇科学论文也是讲的光学，1672年发表在《皇家学会哲学杂志》上。德·拉·普敕姆（De la Pryme）在他的日记中说：1692年牛顿往礼拜堂时，忘记了熄灯。这引起了一场火灾，把他的著作都焚毁了，二十年的光学研究成果也在其中。但牛顿在他的书的序言中却没有提及这仲事。他说：“1675年应皇家学会某些会员的请求，写了一篇关于光学的论文，……其余则是大约十二年后加入的。”
1611年，斯帕拉特罗的大主教安托尼沃·德·多米尼斯（Auto－nio de Dominis）提出一种虹霓的理论。他说由水滴内层表面反射出来的光，因经过厚薄不同的水层，而显出色彩。笛卡尔提出一个更好的解释。他认为色彩和折射率有关，并且成功地算出虹霓弯折的角度。马尔西（Marci）使白光透过棱镜，并发现有色彩的光线不再为第二棱镜所散射。牛顿把这些实验加以扩大，并且把有色光线综合成白光，从而澄清了这个问题。他还认为望远镜里妨碍视线的各种色彩也是由于类似原因而产生的，并且错误地断定，要阻止白光分散成各种色彩就必然要在同时阻止放大率所必需的折射；因而他认为要改进当时的折射望远镜是不可能的，于是他发明了反射望远镜。
其次，他还考察了胡克描写过的肥皂泡和其他薄膜上都有的薄膜的色彩。他把一个玻璃三棱镜压在一个已知曲率的透镜上，颜色就形成圆圈，后来被人叫做“牛顿环”。牛顿仔细地测量了这些环圈，并把它们一点一点地和空气层厚度的估计数比较。他又用单色光重复了这个试验，这时只有光环与暗环交错出现。牛顿断定每一确定颜色的光都是痉挛似地时而容易透射，时而容易反射。如果在反射光下去看白色光所成的环，某一在一定厚度下恰好透射过去的颜色便不会反射到眼里，于是眼所看见的便是白色光减去这一颜色的光，换言之即看见一种复色光。牛顿于是推断：自然物的颜色至少有一部分是由于它们的微细结构的缘故，他并且算出产生这种效果所必需的大小。
格里马耳迪（Grimaldi）的实验，证明极窄狭的光束平常虽走直线，但遇到障碍时就沿障碍物的边角而弯曲，所以物影比其应有的形式为大，因而形成了有颜色的边沿。牛顿重复并扩大了格里马耳迪的实验。牛顿证明让光线通过两个刀口之间的狭缝，弯曲度就更大了。他对狭缝的宽窄和偏转的角度都进行了仔细的观察与测量。
牛顿还考察了惠更斯所发现的光线通过冰洲石所生的异乎寻常的折射现象。在这种矿石里，一条入射光产生了两条折射光；在把这两条光线的一条分离出来，使它再通过另一冰洲石时，如果第二个冰洲石的结晶输与第一个的轴平行，这条光线仍能通过，如果两个冰洲石的轴恰成正交，这条光线便不能通过。牛顿看出这些事实说明不管一条光线怎样，它不能是对称的，而必然在不同的方面有一些不同。这就是偏振理论的要点。
除了这些现象之外，在考虑光的性质时，还有一个事实也需要估计在内。1676年，勒麦（Roemer）观察到当地球行到太阳与木星之间时，木星的卫星的掩食比平常约早七、八分钟，反之，若地球在太阳另一面时，木卫的掩食，则常迟六、八分钟。在后一情形下，木卫的光线须行过地球的轨道，即比前一情形的距离长些。观测所得的差异说明光的传播需要时间，而不是一发即到。
牛顿说他本来还打算进行一些光学实验，但由于办不到，所以他对于光的性质也就没有得出明确结论，只提出一些问题让别人去探讨与解答。他的最后意见，似乎总结在第29问题中：
光线是不是发光体射出的极小物体？因为这样的小物体可以直线地经过均匀的介质，而不弯曲到阴影中去。这正是光线的本性……。如果折射是由于光线的吸引力形成的，则入射角的正弦必定与折射角的正弦成一定的比例。
根据光的微粒说，很容易说明这个“一定的比例”必定可以量度光线在密的介质中的速度和在稀的介质中的速度的比例。牛顿继续说：
更使光线时而容易反射，时而容易透射，只需要它们是一些小物体，这些小物体靠了它们的吸引力或某种别的力量，在它们作用的物体中激起颤动，这些颤动比原来的光线更要迅速，于是次第赶上它们，并且搅动它们，仿佛轮流地增加或减少它们的速度，因而使它们具有那种特性。最后，关于冰洲石的反常折射，看来那很象是隐藏在光和冰洲石晶体质点的某几边的某种吸引力造成的。
把光线看做是射入眼中的微粒的观念，可以追溯到毕达哥拉斯派。恩培多克勒与柏拉图则认为眼里也射出一些东西。这种触须式的理论也为伊壁鸠鲁和卢克莱修所持有。他们有一种混乱的观念，以为眼看物与手以棍触物有些相同。亚里斯多德反对这看法。主张光是介质中的一种作用（）。所有这些都不过是精度，无论对与不对，同样是无价值的。不过，在十一世纪，阿耳哈曾（Alhazen）却举出