平行线、直线等保持不变。于是人们能使大小改变而保持其余一切不变，就得到一个较
普遍的群，而原位移群成了这个更普遍的群中的一个子群：这就是相似群，可以在不改
变形状的情况下放大图象。接着，人们可以改变图象的各个角，但是保持它原来的平行
线和直线等，这样就得到了一个更普遍的群，而上述相似群就成了它的一个子群；这就是
“仿射”几何群，例如，把一个菱形改变成另一个菱形，这个群就要发生作用。继续把
平行线改变而保留直线，于是就得到一个“射影”群（透视等），先前那些图象所构成
的群就成了它嵌套的子群了。最后，连这些直线也不保留，而在某种程度上把某些图象
看作是有弹性的，唯一被保留下来的是图象上各个点之间一一对应的、或对应连续的对
应关系，于是这就产生了最普遍的群，即拓扑学所特有的“同型拓扑”（homeomorphie
s）群。这样，各种不同的几何学原先看来是静态的、纯粹图形化的、分散在不相联系的
章节里描写的模型，现在使用群结构之后，就正好形成了一个巨大的构造，其转换作用，
因为有了子群之间的嵌套接合关系（emboltement），就可以使得从一个子结构向另一个
子结构过渡成为可能（且不谈普通测量学；我们可以依靠拓扑学，从普通测量学中引出
非欧几何或欧氏几何的特殊测量学，从而再回到位移群上来）。克莱因（F。Klein）在
《埃尔兰根纲领》（Programme d’Erlangen）这部著名著作里所陈述的，就是这个从图
形几何变成一整个转换体系的根本改变。这是由于群结构的运用而为我们取得了的可以
称之为是结构主义的确实胜利的第一个实例。
6．母结构
但这还只是一个部分的胜利。在数学界可以称之为结构主义学派的，也就是布尔巴
基学派（les Bourbaki）的特征的乃是企图使全部数学服从于结构的观念。
传统的数学，是由各不相关的章节如代数、数论、数学分析、几何、概率论等等所
形成的一个整体，其中每一部分研究一个特定的领域，各自研究若干被内在性质所决定
的“存在”或对象。群结构可以应用于极不相同的成分，而不是仅仅适用于代数的运算。
这个事实促使布尔巴基学派按照类似的抽象原理来展开对种种结构的研究。如果我们能
把诸如数、位移、射影等（而我们已经看到，这里既有运算的结果，也有加在运算本身
上的运算）这些已被抽象化了的对象称为“成分”，群的特性却不是由这些成分的本性
来确定的。群以高一级的新的抽象超越这些成分；这新的抽象就是要抽绎出我们可以使
任何一种成分都能受其支配的某些共同的转换规则。同样，布尔巴塞学派的方法，就是
用组成同型性（isomorphismes）的办法，去抽绎出最普遍的结构，使各种不同门类的数
学成分，不问这些成分来自哪个领域，完全根本不管它们各自的特殊性质，都能服从于
这些最普遍的结构。
这样一件工作的出发点，是某种归纳法，因为我们所研究的各种基本结构的数目和
形式都并不是先验地推演出来的。这种归纳法，导致发现了三种“母结构”，即所有其
它结构的来源，而它们之间被认为是再不能互相合并了（三这个数目，是经逆退式分析
得到的结果，不是某种先验构造的结果）。首先是各种“代数结构”，代数结构的原型
就是群，但是还有群的派生物（“环“＇anneaux英文为rings＇、“体”＇corps英文为fi
eld＇，等等）。代数结构都是以存在着正运算和逆运算为其特点，即有从否定意义上体
现的可逆性（如T是正运算，T…1是它的逆运算，则T…1·T=0）。其次，我们可以看到有
研究关系的各种“次序结构”，它的原型是“网”（reseau或treillis，英文为lattic
e或network），也就是一种普遍性可以和群相比拟的结构，这种结构最近才有人进行研究
（戴德金德（Dedekind〕、比尔霍夫（Birkhoff〕等人）。“网”用“后于”（succed
e）和“先于”（precede）的关系把它的各成分联系起来；因为每两个成分中总包含有
一个最小的“上界”（后来的诸成分中最近的那个成分，或“上限”＇supremum＇）和一
个最大的“下界”（前面成分中最高的那个成分，或“下限＇infimum＇）。网和群一样，
适用于相当大量的情况（例如，适用于一个集合中的“部分集合”或“单化复合体”＇s
implexe＇，或适用于一个群和它的那些子群，等等）。网的可逆性普遍形式不再是逆向
性关系了，而是相互性关系：如用加号（＋）替换乘号（·）、用“先于”关系替换“后
于”关系，就使“A·B先于A＋B”这样一个命题转换成了“A＋B后于A·B”这样一个命
题了。最后，第三类母结构是拓扑学性质的，是建立在邻接性、连续性和界限概念上的
结构。
这些基本结构被区分出来并被阐明了特性之后，其它结构就通过两个过程接着产生：
或者通过组合的方式，把一些成分的整体，同时放到两个结构中（例子是代数拓扑学）；
或者通过分化的方式，也就是说，硬性规定某些确定子结构的限制性公设（例子是，用
引进直线守恒，接着是平行线守恒，接着是角的守恒，……等的办法，以连续一个接一
个嵌套的子群的形式，从同型拓扑群中派生出来的各种几何群。参见第五节）。人们同
样还可以从强结构到“比较弱的结构”进行分化，例如，一个结合律性质的“半群”，
既没有中性成分，也没有逆成分（自然数0）。
为了把这些不同方面互相联系起来，为了帮助说明结构的普遍意义可能是什么情况，
值得先思考一下：“数学建筑学”（布尔巴基学派用语）的基础，是否具有“自然的”
性质，或者只能建立在公设化的形式基础上？这里我们已经可以在“自然数”指正整数
的意义上使用“自然（的）”这个术语了；正整数在数学上使用它们之前先已经构成，
是用从日常活动里所抽出来的运算构成的，这些运算，如早在原始社会里一对一的物物
交换中所使用的、或是儿童玩耍时使用的一一对应的关系，在坎托尔（Cantor）用来建
立第一个超穷基数以前，已经使用了几千年了。
人们可以惊奇地看到，儿童在发展过程中最初使用的一些运算，也就是从他加在客
体上的动作的普遍协调中直接取得的运算，正好可以分为三大范畴，划分的标准，根据：
运算的可逆性来自逆向性，象代数结构一样（在这个儿童的特殊情况下，是分类结构和
数的结构）；或运算的可逆性来自互反性，象次序结构一样（在这个特殊情况下，是序
列、序列对应关系、等等）；或者是运算组合系统不是以近似与差别为基础，而是来自
邻近性、连续性、和界限的规律，这就组成了一些初级的拓扑学结构（从心理发生学的
观点来看，这些结构先于矩阵结构和投影结构，与种种几何学的发展历史正好相反，但
却与理论推衍产生的顺序相符！）。
所以，这些事实似乎表明，早从智慧形成的相当原始阶段时起，布尔巴基学派研究
所得的那些母结构，在如果不说原始、自然还是非常初步的，并且从理论层次上说离开
这些母结构所能具有的普遍性和可能有的形式化程度还很远的形式下，就已经与智慧的
功能作用的必要协调，有相对应的关系了。其实，要证明刚才讨论的那些初始的运算在
事实上来自感知…运动（级）协调本身是不会很难的，在人类的婴儿身上和在黑猩猩身上
一样，这些协调的工具性动作肯定已经具有若干“结构”了。（可参见第四章）
但是，在阐明从逻辑观点看来上面这些见解意味着什么之前，我们先要看到，布尔
巴基学派的结构主义，在一个值得指出的潮流的影响之下，正在转化演变的过程之中。
因为这个潮流的确使人看到了发现——如果不说造成——新结构的方式。这就是要创立
“范畴”麦克莱恩＇MacLane＇、艾伦贝格＇Eilenberg＇等），也就是说要创立一个有若干
成分的类，其中包含这些成分所具有的各种函数，所以这个类带有多型性（morphismes）。
事实上，按照现在的词义，函数就是一个集合在另外一个集合上或在自身上的“应用”，
并导致建立各种形式的同型性或“多型性”。这差不多就等于说，在强调函数时，范畴
的重点不再是母结构，而是放在可以发现出结构来的、建立关系的那些程序本身上面。
这就又等于把新结构不是看成从先前的各种运算已达成的各种“存在”中引出来的，而
是从作为形成过程的这些运算本身里抽绎出来的。
因此，巴普特（S．Papert）在上面所说的范畴里看到的，更多地是为真正理解数学
家的运算而努力，而不是为了理解“一元化”数学的运算法的努力，这不是没有道理的。
这儿就是反映抽象的一个新的例子，说明这个反映抽象法的本质，不是来自客体，而是
来自加在这些客体上的那些动作（即使原先的客体已经是这样抽象得到的一个结果），
这些事实，对于结构构成的性质和方法而言，是很宝贵的。
7．逻辑结构
初看起来，逻辑学似乎是结构的特别有利的领域，因为逻辑学是研究认识的形式，
而不是研究认识的内容的。而且还进一步，当我们在（第六节已经指出的）“自然数”
这个：“自然”的意义上提出自然逻辑这个问题（现时逻辑学家的看法不对）时，我们
很快就看到，逻辑形式处理过的内容仍然有某些形式，具有可以逻辑化的形式的方向，
这些内容的形式包括了一些加工得更差的内容，但这些内容又是有某些形式的；如此依
次类推，每一个成分对于比它高级的成分来说是内容，而对于比它低级的成分来说是形
式。
但是，固然这些形式上的嵌套接合关系和形式与内容的相对性，对于结构主义理论
说来都是极有启发意义的，逻辑学对于这些关系和相对性的问题却并不感觉兴趣，只是
在形式化的界限问题（参看第8节）上，才间接地有关。符号逻辑或数理逻辑（今天唯一
算得上的逻辑）是建立在这上升的形式一内容阶梯上任意一点的，不过要有使这任意一
点成为一个绝对起点的系统化的意图；这样一个意图是合理的，因为这个意图借助于设
定公理的方法是可以实现的。事实上，只须选择一定数目的概念和一定数目的命题作为
起点；把这些概念看作是不能下定义的，意思是说，这些概念是用来为其他概念下定义
的；并且把这些命题看作是不要加以论证的（因为对于所选择的体系而言，选择这些概
念是自由的），而这些命题却是为论证服务的。不过，这些基本的概念和公理应该是充
分的，它们相互之间可以并存，并且要减少到最低限度，就是说不是多余的。其次，要
只用运算程序的形式给自己定出一些构造规则；于是形式化就成为一个自给自足的体系，
并不求助于外在的直觉，而且这个体系的起点在某种意义上是绝对的。不言而喻，还有
一个形式化的上界问题，还有要知道那些不能下定义和不要加以论证的范围有多大，这
些认识论的问题。但是，从逻辑学家所处的形式观点来看，这儿无疑就是唯一的一个在
纯粹是内部调整意义上、也就是在完全自身调节作用的意义上、绝对自主的例子。
因此，从广义的观点出发，我们可以同意，每一个逻辑体系（逻辑体系是有无数个
的）都能组成一个结构，因为每一个逻辑体系都具有整体性、转换性和自身调整性这三
个性质。然而，一方面，这是些专门为此（ad hoc）建立起来的“结构”。而不管我们
是否说出来，结构主义的真实倾向却是要达到“自然的”结构；“自然的”这个概念有
点模棱两可，并且经常是名声不好的，它或者是指在人性中深深扎根的意思（有重又回
到先验论上去的危险），或者相反是指有一个某种意义上独立于人性的绝对存在，它只
是应该适应人性而已（这第二个意思有重又回到超经验的本质上去的危险）。
另方面，这里有一个更严重的问题：一个逻辑体系，就它所证明的定理的整体而言，
就是一个封闭性的整体。但是，这只是一个相对的整体，因为对那些它不加以证明的定
理而言（特别是那些不能决定真假的定理，原因是形式化有限度），这个体系的上方是
开放�