顶点的两条切线关于顶点到圆心的连线处于对称，从顶点到切点的线段相等。因此，两对边之和等于其余两对边之和。这种对称性质毫无例外地属于与圆外切的四边形的性质。如果我们画一条割线或在圆外画一条线代替AD以完成四边形，那么该性质就不再适用了。同样地，人们不能在每一个四边形内接圆：因为那个圆是由三条切线、或由相邻切线之间的两个角平分线之交决定的。
第四边强加了一般与其他边不相容的要求。这样的判断在一起的配合能够方便地以问题以及它的解的说明的形式给出，或者作为演绎发现给出。在欧几里得或亚里士多德的逻辑项中的系统阐明未出现困难。J．F．弗里斯详细地讨论了这个例子，德罗比施（Dro…bisch）的讨论更有吸引力。
第十七节
不是我们叙述一部分的逻辑形式是从科学思想的实际例子中通过抽象达到的。然而，任何像在几何学中的这样一类的例子都表明，仅仅这些形式的知识是没有多大用处的：它至多可以有助于核验思想路线，而无助于发现新思想。事实上，思想并不是以空洞的形式进展的，而是依据生动地呈现出来的内容，或直接地或通过概念进展的。在几何学演绎中，直线将时而被看作是它的位置，时而被看作是它的长度，或者视为切线、半径的法线、对称图形的一部分；在平行四边形中，我们必须时而注意面积，时而注意边、或对角线、或角之比。如果我们不熟悉所有直观的和概念的关系以及如何把它们相互转化，如果对被推定的关联的兴趣没有把我们的注意力引向正确的路线，那么我们肯定不会作出几何学发现。空洞的逻辑公式不能代替事实的知识。不管怎样，代数和几何学的三段论的考察一般表明，像这样的对思想的关注和理智操作的抽象形式的符号表示决不是没有任何长处。任何一个不会进行这些操作的人在没有这样的帮助的情况下，无论如何也不能从这些方法中获得好处。不过，当我们考虑包含频频重现的相同的或相似的运算的思想操作的整个序列时，符号表示大大减轻了必需的心理努力，从而省下努力对付不能用符号解决的比较重要的新案例。事实上，数学家为了他们自己的意图，在他们的符号论中发展了最有价值的符号逻辑。数学思想操作是如此千变万化，以致亚里士多德逻辑的简单分类不能囊括它们。因此，数学产生了它自己的更为综合的符号逻辑，其操作决不仅仅是定量的。开端返回到莱布尼兹；在 19世纪中期的德国，唯一的追随者似乎是F．E．贝内克（Beneke）。它被留给像H．格拉斯曼（Grassmann）、布尔（Boole）、E．施罗德（Schroder）、伯特兰 · 罗素（ Bertrand Russell）等等这样的数学家，从而恢复了莱布尼兹的路线。
《认识与谬误》
恩斯特。马赫著 洪佩郁译
第十一章 论思想实验
第一节
人通过观察在他周围的变化收集经验。不过，对他来说最有趣和最有教益的变化，是那些他通过他自己的干预和审慎的动作能够影响的变化。关于这样的变化，他不需要依然是纯粹被动的，他能够主动地使它们适应他自己的要求；此外，它们对他来说具有最高的经济的、实践的和理智的重要性。这就是使实验变得如此有价值的东西。如果我们观察一下，儿童在独立的第一阶段如何细查他自己的肢体的灵敏性，他如何为他的镜像或在阳光下的影子惊奇，并通过做动作试验它们的行为怎样，他如何实践击中靶子，那么我们被驱使得出结论：人具有天生的实验倾向，在没有更多地察看的情况下，他在他自身之内发现基本的实验变异法。假如成年人暂时丧失了这些宝藏，以致他仿佛必须重新发现它们，那么要说明的是，他的社会教养使他的兴趣圈子变狭小，并把他局限于其内，而与此同时，他却获得了大量的现成观点，即使说不上偏见，他没有假定这些观点需要审查。
在实验中，理智可以在各种程度上被卷入其中。多年前，我能够观察到这一点，当时我一只手偏瘫，如果我必须避免不断地依赖外部帮助的话，我不得不用一只手做人们通常用两只手做的许多事情。由于改变动作方向以达到某一目标，尽管随意地且没有耐性，我不久还是作出了形形色色的小发现，不是借助许多反射努力，而仅仅是借助保留有用的东西和对它的适应。不过，发现代替残废的手，用圆规、直尺和镇纸完成几何学绘图的步骤，需要许多思考；对于所有超出唯有我的手的动作范围之类的操作来说，情况都一样。我们几乎不能怀疑，在本能的实验和思想指导的实验之间不存在明显的分界线。大多数史前发明，例如纺绩、打褶、编织、打结等等，也许主要由前者引起：它们给人以自始至终彻底思考的印象，它们的生物学前例可在鸟和猴子筑窝中看到。大多数这样的发明也许是由女人半游戏地发明的，一些东西是通过偶然事件发现的，只是在较晚时期才蓄意保留下来。一旦有了开端，比较立即导致比较精细的实验。
第二节
实验并非毫无例外地是人类的特征。也可以观察到动物在各种发展水平上作实验。仓鼠闻到在盒子内有食物，它急躁的动作终于把盒盖掀下来，虽然没有包含计划；这代表某种最低水平一样的东西。较有趣的是C．劳埃德·摩根的狗，它在数次尝试带走一端有严重症节的棍棒后，不再在中点处、而在重心处靠近沉重的一端咬住棍棒，在证明横越带走不可能通过狭窄的门时，它咬住棍棒的一端拖曳它。不过，这些动物没有表现出把先前场合的经验应用于后来的相似场合的能力。我看见聪明的马用它们的蹄子轻敲地面，仔细地检验一条危险的路径，看见猫把爪子伸进提桶又缩回，以检验冒热气的牛奶的热度。从仅仅通过感觉器官检验、转动身体或改变位置到从根本上改变条件，从被动的观察到主动的实验，存在着十分渐近的过渡。把人和动物在这方面区分开来的东西尤其是兴趣的狭窄范围。一只年幼的猫在察看它的镜像时表现出好奇，它甚至可能看一下镜子背后，但是，只要它注意到图像不是另一只有肉体的猫，它就变得漠不关心了。雄斑鸠甚至达不到这个水平：正如我经常观察到的，它能够在它的镜像前咕咕叫传情，一次达十五分钟，并以习惯的两个步调表示问候，而觉察不出骗局。当人们观察四岁的儿童自发地怀着惊奇和兴趣注意到，放在水中冷却的酒瓶似乎变短时，存在多少水平差异啊。当另一个相同年龄的儿童在糊墙纸前偶尔眯着眼看时，他为立体的外观惊诧不已。
受思想指导的实验处在科学的基础上，并有意识地以扩大经验为目的。人们还必须不要低估本能和习惯在实验结果中的功能。要对介入实验中的所有条件获得即刻的理智概观是不可能的。有些人缺乏抓住异常的东西不放、在必要时迅速地使手的动作适应的能力，这些人在需要实践所计划的实验的任务中将不会成功。在通过连续地关注立而变得熟悉的领域中，人们截然不同地从事实验。如果在某一时间间隔之后人们重返这样的领域，那么人们发现，通常必须重新获取人们在概念上没有确定的大多数东西，并更精细把握附属条件的联系。
第三节
除有形实验（physical experiments）外，还有在较高理智水平上使用的其他实验，即思想实验（thought
experiments）。计划者、空想家、小说家，社会乌托邦和技术乌托邦的作者都用思想作实验；精明而讲究实际的商人、严肃的发明家和探究者也这样做。他们都想像条件，把他们的期望与条件联系起来，并推测某些结果：他们获得思想实验。不过，前者在幻想中把某些从未在现实（reality）中、从未一起出现的条件结合起来，或者想像这些条件被与它们无关联的结果伴随着，而后者的观念则是事实的可靠表象，他们在其思维中将保持与实在（reality）的十分密切的联系。事实上，正是在我们观念中的事实的或多或少非任意的表象，才使得思想实验成为可能的。因为我们能够在记忆中找到我们在直接观察事实时未注意的细节。正像在记忆中我们可以发现突然揭示一个人的迄今为止看错的个性特征一样，记忆也提供了迄今未注意的物理事实的特征，并帮助我们作出新的发现。
我们的观念比物理事实更容易在手头：思想实验可以说花费较少。正是这样的小小的奇迹，使得思想实验往往在有形实验之先，并为其作好准备。例如，亚里士多德的物理研究，他在思想实验中利用保持在记忆中、尤其是保持在语言中的经验贮藏。思想实验在任何情况下都是有形实验的必要的先决条件。每一个实验者和发明者在把有形实验转化为事实之前，都必须在他的头脑中进行有计划的安排。斯蒂芬森（Stephenson）从经验中可能熟悉车箱、铁轨和蒸汽机，但是，正是通过第一次把它们在思想上组合起来，他能够接着进而在实践中建造机车。同样地，伽利略在能够实现研究自由落体的实验安排之前，他必定在他的幻想中看见它被充分地描绘出来。每一个初学者都认识到，先前不恰当的估价、没有考虑误差的来源等等，对他来说都能够导致悲喜剧的结果，其程度不亚于在实际生活中的格言式的先行动、后思考。
第四节
当物理经验变得充裕，所加入的感觉要素的给定范围变得更多样，因而较微弱的心理联想、幻想能够开始时，在其中实际上出现的游戏种类能够由此刻的思维的模式、条件和趋势决定。如果物理学家询问他自己，在各种各样的组合条件下必须期待什么，倘使人们尽可能密切地固守物理经验，那么结局不能是崭新的、不能与特殊的物理经验提供的东西大相径庭。由于物理学家总是把他的思想转向实在，因此他的活动有别于自由的虚构。可是，即使物理学家关于某些个人的物理经验的最简单的思想，也不完全与实在重合：思想通常包含比经验要少的东西，仅仅是带有偶然的末事先考虑的条件的、对于实在的图式描述。通过概观人对经验的记忆，通过形成新的记忆的组合，人们从而将能够获悉，思想多么准确地描述了经验，思想在多大程度上相互一致。在这里，我们拥有阐明逻辑经济的过程，而逻辑经济则适用于经验内容的理智转化。什么将决定成功，什么结合在一起，什么是独立的，这一切通过这样的概观比它通过个人的经验能够变得更为清楚。这使我们很明白，我们如何把方便与公正对待经验的需要结合起来，能够最综合地相互一致以及与经验一致的最简单的思想是什么。我们通过在思想中改变事实达到这一点。
思想实验的结果和我们在心理上与各种各样的条件联系的推测，能够是如此确定和明确，以致作者正确地或错误地感到，能够用有形实验实施任何进一步的检验。不过，他们的结局越不大肯定，思想实验便越强烈地敦促探究者进行作为自然的后续的有形实验，从而完成和决定该结果。让我们首先考虑一下前一种类型的一些案例。
第五节
被认为对于某一结果不重要的条件，能够在思想中随意变化而不改变那个结果。通过敏锐地掌握这个步骤，我们可以达到乍看起来似乎是相当不同的案例，这就是观点的概括。斯蒂文和伽利略在处理斜面问题时，显示出他们极为精通这种手段。普安索（poinsot）在数学中也使用这一方法。对于一个力的系统A，他添加了另外两个力B和C，C被选取平衡A和B的每一个。由于观察者的观点是不相干的，我们被导致把A和B看作是等价的，尽管它们在其他方面大为不同。惠更斯关于碰撞的发现依赖于思想实验：从认识其他物体的运动与撞击的物体不相干，就像它与观察者不相干一样开始，他改变观察者的观点和相关的背景运动——他用这种方式从最简单的特例开始，达到重要的概念。另一个例子发生在屈光学中，在该处光线被视为时而属于这一束已知性质、时而属于那一束性质。
第六节
在心理上改变那些对结果来说是决定性的条件是进一步有用的，最富有成效的进路是连续的改变，这产生了所有可能案例的一览表。这类思想实验无疑导致我们思维的巨大变化，并开辟了探究的最重要的新路线。即�