的调整，即将其分母减去1，使之成为500/749，1000/749。这样一来，三分
损益律就倾向于平均律了。我们暂且把这种定律法称之为“749定律法”。
《淮南子·天文训》中定黄钟数81，计算中取整数值，它所计算得到的十二
数值与三分损益法稍有不同。朱载堉对此作了详细验证，其结果是，《淮南
子》或者采用了4舍5入的简便方法，或者采用了“749定律法”。因此，
朱载堉指出，平均律的定律思想，“非自古所未有，疑古有之，失其传也”。
这一有关平均律的起源问题，是朱载堉最早发现的。
朱载堉没有遵循“749定律法”这条思维线路而创建十二平均律，而是
打破了传统的律学思维和方法，提出了新的数理概念和计算法，创立了“新
法密率”——一十二平均律这一划时代的律学理论，解答了千年来的律学命
题，不仅给中国古代律学史的终端画下了一个圆满的句号，而且也为世界音
律学理论开创了一个新篇章。
朱载堉创建新法密率时，提出了音与数的辩证关系，认为音与数要相吻
合，但又不可执一，之间可以变通。这就为他不用三分损益法提出了理论根
据。
朱载堉十二平均律理论的创立是合理的和必要的。一方面，由于“平均
律”命题的发生和近千年来不断地追求和探索，反映了古代律学家的强烈愿
望，对它的解答是必然的；另一方面，在中国封建社会晚期的明清两朝，学
术界通过表面的复古形式，对大量的古代经典进行整理、鉴别和考证，引起
了对传统文化的怀疑、批判和再认识。朱载堉对传统律学的重新认识、理解
和总结，以及进一步批判和扬弃以往律学从未摆脱“三分损益”生律法来追
求“平均律”的思维方式，正是在这样的历史背景下萌发起来的。
关于新法密率，朱载堉在《律吕精义》中清楚地写道：度量长度的标准
尺是起源于黄钟律的长度，因此黄钟正律的长度，也就是长度标准的一尺。
2
设一尺的平方（100寸 ）为黄钟正律的冥数，那么，如果依勾股定律，以勾
2 2
10寸自乘，得100寸 为勾冥，以股10寸自乘，得100寸 为股冥。将勾股
2
二者冥数相加，得弦冥为200寸 。这样一来：
2 2
10
… Page 6…
该值为南吕倍律的数值。再将南吕倍律之值乘以勾10寸，乘股10寸，得三
次乘积 （即立方积）数值；然后将立方积开立方，得：
3 4 12
10×10×10 2 = 10 2 = 1。059463 （尺）
该值为应钟倍律的数值。十二律黄钟为始，应钟为终，周而复始，循环不止。
这是自然真理，就像 《易经》八封中的贞后元生、坤尽复来一样。因此，如
果要计算十二律中某律的数值，只要以比某律高一律的数值乘以黄钟正律10
寸，再除以应钟倍律数10。59463……寸，就可以得到某律。其它各律依此类
推。那里会有往而不返，不旋宫的道理呢！
朱载堉将表示八度音程的弦长比2开平方、又开平方、再开立方，得到
了2的12次方根的数值1。059463……。这个值就是通常所说的半音，我国
传统说法称之为应钟律数。然后，朱载堉将八度值2连续除以应钟值，累除
十二次，就得到了相应的平均律中八度内十二个音的音高。因为朱载堉将八
12 12
度值2累除以 2 （应钟值），因此，这个平均律实际上就是以 2为公比数的
等比数列。朱载堉将这个公比数称之为“密率”。现在，我们将朱载堉“新
法密率”的详细计算结果列于下表中。
朱载堉的十二平均律
倍律
律名 正律
计算结果 计算方法 今日音名
12/2 2
黄钟 1 2 2 C
2 11/ 12 1
大吕 0。9438741。887748
… Page 7…
人们只要利用他的方法、甚至搬用他的数据结果，就可以制出所期待的任一
种符合十二平均律的乐器如钢琴之类，而不管人们愿意取黄钟宫音的绝对高
度是多少。
朱载堉还经过多次检验，证明了“密率”在理论上的严密性、科学性和
正确性。为了检证“密率”，朱载堉还研制了“均准”测律器，并亲自校点
笙来验证“密率”。同时，他还提出了“异径管律”理论，为了这项研究工
作，亲自动手种黍、裁竹制管。这些都是他重视律学实验的例证。正由于严
密、正确的数理思维方法和重视实验的治学态度，保证了朱载堉计算“新法
密率”的精确性和合理性。
朱载堉的“密率”体现了一代代中国律学家的愿望，完成了人们长达十
几个世纪的宿愿。这项成就，在中国音乐史、律学史以及算学史上都具有划
时代的伟大意义。但由于中国古代的五声单音体系、民族乐器的音律设置，
再加上朱载堉创立“密率”的个人意图等因素，在当时的中国音乐实践中，
对十二平均律的应用不是很迫切，所以朱载堉的新律在当时音乐实践中并没
有推广使用。更为遗憾的是，昏庸、愚昧的封建朝廷当时只关心“八股举士”
的科举，当其中包含着“新法密率”的《乐律全书》呈献给朝廷时，竟遭到
了冷遇。对此，朱载堉早有预料。他的“新法密率”就像那愚昧社会中将要
脱胎的孩子一样，躁动母腹，急不可待，仿佛就要堕地大喊。而母亲在兴奋
一时之后更多地却又害怕他的诞生，她自信腹中孕育着一位天才、伟人，但
她却要勒紧身带，并为他的未来忧心忡忡。在三分损益律被崇拜为神圣法则
的时代，新法密率的诞生确实使朱载堉愁过于喜。
朱载堉创造的如此伟大的业绩，就连《明史》也将其拒之门外。这颗科
学和音乐艺术的明珠，就这样被埋没在知识荒漠的王宫殿堂里。尽管朱载堉
在他的书中一再呼吁：新法密率“盖2000余年之所未有，自我圣朝始也，学
者宜尽心焉。”结果，在他的音律理论创建后一个半世纪，却招来了大量的
谩骂和攻击。他们不理解、不理睬，更不能容忍朱载堉的“密率”。在他们
看来，古人没有说过的不能说，古人没有做过的不能做；创立新说，提倡新
事，就都是臆说，是大逆不道，密率就是对传统律学的背叛和反对。为此，
密率被定下了“十大罪状”，结果朱载堉的十二平均率落得了“宣付史馆、
以备稽考、未及实行”的结局。在朱载堉之后的300年中，对这项重要发明
的问津者竟寥寥无几。
朱载堉创建的十二平均律，虽然在中国没有得到任何重视和应用，但它
一经传到西方，便引起欧洲音乐界的震惊。在西方，直到18世纪前半叶，德
国作曲家巴赫才分别于1722年和1744年创作了上下两卷的《平均律钢琴曲
集》，充分发挥了十二平均律的巨大作用，以创作实践证明了这个律制的合
理性和优越性。在此之前，西方音乐为了求得这一音律体系，付出了不亚于
中国律学家为此付出的心血，他们不仅在理论上，还在键盘乐器上作了大量
实验。这一体系在西方音乐史上的确立，具有很重要的意义，它开创了一个
时代的音乐语言和音乐风格，正当西方音乐家为他们的十二平均律理论和实
践的优越性感到自豪时，得知遥远的东方古国——中国早在1581年就有了十
二平均律理论——“新法密率”，他们对此惊讶不已。他们在这方面整整落
后了一个世纪！
德国声学家赫尔姆霍尔茨 （1821—1894年）这样说：“在中国人中，据
说有一个王子叫朱载堉的，他在旧派音乐家的反对声中，倡导七声音阶。把
… Page 8…
八度分成十二个半音以及运用变调方法，也是这个有天才和技巧的国家发明
的。”那么西方发明十二平均律，会不会受到传播到西方去的朱载堉的密率
的影响呢？著名英国科学家李约瑟曾作过这样的评价：“朱载堉的著作曾经
得到很高的评价，他的理论在他的国家却很少付诸实践，这真是不可思议的
讽刺。……平心而论，在过去的300年间，欧洲及近代音乐确实有可能曾受
到中国的一篇数学杰作的有力影响，但是还没有得到传播的证据。与这个发
明相比较，发明者的名字是次要的。毫无疑问，朱载堉本人是第一个愿将荣
誉归功于另一个研究者的人，也是为要求优先权而最后与人争吵的人。第一
个使平均律数学上公式化的荣誉确实应归之中国。”
朱载堉在创立十二平均律理论的同时，又发现了以管定律与以弦定律的
差异，提出了“异径管律”论。这个理论实际上是一种管口校正方法。他在
《律吕精义》一书中指出，各音律以半音进入较高的次一音律时，管不仅要
缩短长度，同时要缩小围径，在规定各律管长度的同时，也必须规定律管内
径的大小。由于管与弦的振动发音方式不同，管的发音体是气柱，必须要测
定出气柱实际振动尺度与管的尺度之间的差数，也就是“管口校正”数，这
样才能正确地制造出所需要的律管。朱载堉在“异径管律”理论中，将他的
密率理论系统地应用在律管的管口校正上，成功地制造出了符合其理论的律
管。比利时声学家马容于1890年发表了一篇报告，他说依照朱载堉提出的律
管长度和内径数据，在黄钟的倍律（低八度）、正律和半律（高八度）上加
以实验，认为三律在八度关系上都符合要求，完全准确。
三、对乐器的研究
朱载堉以创建十二平均律和提出管口校正法而闻名，但他不仅是一个科
学家和音乐理论家，也是一位音乐实践家。其中最突出的，是他在乐器制造
方面获得重大成就。
朱载堉为了验证他的密率理论，特制了一架律准，即一个建立在十二平
均律基础上的弦定律器。在朱载堉之前，已有不少律学家制作了不同的律准
来研究律学，但以往的律准都是以三分损益律为基础的。朱载堉对它们作了
分析研究后，制造了一种新的定律器，它不仅在器具的表面刻有十二平均律
的数据，同时也刻上了三分损益律的刻度以资对照，将这种律学实验器推向
了一个新高度。更重要的是，这架律准既是调律器，也是世界上第一件建立
在十二平均律的理论基础上的弦乐器，它可以发音，不仅解决了数据的精确
度，也可当作乐器使用。遗憾是，这件宝贵的律准的命运同它的理论基础密
率和朱载堉的《乐律全书》一起，被束之高阁，没有在实践中得到应用。
为验证“异径管律”理论，朱载堉制作了36支律管。由于强调音律的精
确性和律管制作的精密度，他对律管的材料——竹管的选择作了十分详尽的
描述，如“大竹不堪用，惟用小竹长节者耳。”“甜竹最佳”，“新采湿竹，
使干极乃造，湿造则不佳”，等等。律管造出后，在实验时，有一个不可忽
视的条件：吹气要适当。朱载堉说：“吹时不可性急，急乃焦声，非自然声
也”。“吹律人勿用老弱者，气与少壮同，必不相协。然非律不协也。”在
这里，指出了吹气强弱对发音影响。它与现代科学知识是相符�
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