，那么大家看，刚才这个问题就变了，变成这两个函数，谁比谁大的问题。大家注意，第一个函数，它是椭圆的上半部分，第二个的图形呢，它是一条直线，那么这个问题就变成了这条直线和椭圆相交，然后只要看看那两个图像的交点，就把这个题很简单地解出来了。本来是一个解不等式的问题，但是构造两个函数之后，通过求解交点，就转化成一个等式的解法，这是数学中的一个巨大的变化。大千世界相等是短暂的，不等是永恒的，但是利用了这种函数思想，就能够抓住相等的那一刹那，解决永恒的不等的问题，它的智慧就在这儿。第二种方法简洁，解法正确率高，更重要的是，这第二种解法体现出数学的一个非常重要的思想，就是数形结合。
如果这个题再做变化，比如说我要是把那个…1，偷偷地换成一个a，那么你会发现，刚才提供的第一种解法，就无能为力了。因为那个a是啥呢？这个讨厌的a，它变化多端，每一次变化都给这个不等式的解法带来灭顶之灾，但是你要利用第二种解法，那么这个问题就好解决了。构造两个函数，一个是y=8－2x2，再一个是y=x＋a，刚才讲过，y=8－2x2，它其实就是椭圆的上半部分，y=x＋a是一组平行直线，它的斜率是1，随着a的变化，那条直线在不断地变化。
这个题在高考中，应该是一种比较有难度，而且也非常常见的题目，就是分类讨论。我们通过这个图形一看，就可以分成四段来讨论，一目了然。通过这个题，我们可以看到，方程是数学上非常核心的概念，可以在函数的观点下，和不等式统一起来，这就是函数在数学中的重要性。一方面，要解决的具体问题一旦归结为函数，就可以把一些局部的问题，拿到高瞻远瞩的全局上去解决，所以局部的问题就变得很简单；另外，能够把静态的问题，放到波澜壮阔的动态的过程中去研究，使问题变得简单，比如说那个解不等式的问题。
数学其实很好学（5）
有了这样的一个背景，这个题可以随意变。通过观察图像，得出了a
再看一个题，还是各种复习材料上都会有的一个题目：
y=mx2＋43x＋nx2＋1
这个函数的最大值是7，最小值是…1，求m，n。我经常给学生讲的一句话，叫“上帝让谁死亡，必先让谁疯狂”，这个现实生活中的道理，在数学上也有恰到好处的应用。大家看这个题，这个函数中有四个字母，一个x一个y，一个m一个n，那么我们现在要求m，n。我要做的就是怎么能把x和y消掉而后快。大家看，我先把x2干掉，怎么干掉呢？我得先让x2疯狂起来，于是把分母乘过来。乘过来以后，x唱主角了，把这个函数整理成一个关于x的二次方程，x高兴了，你看我多厉害，这个方程竟然是我的一个二次方程，岂不知大难临头了，然后怎么办？面对这个题目，我们采取什么措施呢？因为这是二次方程，它恒有解，所以判别式大于等于零。你看x没了，从这个判别式中，怎么再去寻找x2的踪影呢，找不着了吧？所以这个不等式现在就剩下m，n还有y，我们要求m，n，就得把y消掉，怎么消呢？上帝让y死亡，必先让y疯狂，所以重新打开整理，于是这个题变成了y的一个二次不等式，这个y高兴了，你看这是关于我的一个一元二次不等式，其实大祸已经来临了。你看y2－（m＋n）y＋mn－12≤0，这是关于y的不等式。注意题目，这个函数的最大值是7，最小值是…1，这说明了y的最小值是…1，最大值是7，那就说明，这个不等式的解是＇…1，7＇，就意味着这个二元一次方程的解，一个是…1，一个是7，把…1和7代入，y没了，把…1代入得到m和 n的一个方程，把7代入又得到m和 n的一个方程，这两个方程一联立，m，n搞定了，这是一种做法；或者根据韦达定理，两根之和等于…1，两根之积等于7，那么m和n的方程也就出来了，我们解了这个方程之后，便会把m，n求出来。
这一个小小的片段，就体现了函数这种工具在数学中的重要性。函数是数学上一个永恒的话题，所以每年的高考，对函数这个内容，老师是情有独钟，每年必考，而且考的分量也很重，因此在学习的过程中，一定要高度重视函数的问题。我们研究的问题，一旦转化为函数，那函数的重要性质，例如它的单调性，它的奇偶性，它的周期性，它的凹凸性，便有了用武之地；在数学上占有比较重的分量的数列，又是一类特殊的函数。我通过刚才这个例子想表达的是，在高中阶段，只要能学好函数，便把握住了数学里的一个非常灵魂的东西。
高考考什么（1）
高考其实是有一定周期的选拔性考试，出题内容有规律可循。
在高考命题专家的眼里，高考是有一定周期性的，经常会有一些轮回，其变化又与高等学校的专业课程的设置有关，所以高考不仅是选拔学生，同时还得有利于学生到了大学以后的学习。
从表面上看，高考命题有很大的随意性，但是，在高考专家眼里，高考命题有相当的确定性，看似扑朔迷离，其实规律蕴含其中。所以认真研究考试说明，认真研究近几年的高考题，就可以发现那种看似无形却有形，犹抱琵琶半遮面的高考规律，从而引领学生脱离题海，走向高效的高考复习之路。
如果不去分析高考题的特点，不去琢磨高考题的规律，一味地在题海战术里打拼，结果学生累得头脑昏昏，教师也累得叫苦连天，但是最后的结果往往是，一拿着高考卷子，老师感叹这一年的力白出了，学生感觉高三这一年，似乎就是不做那么些题目，也能得这么些分。这些都说明我们由于一味地去搞题海战术，竟然把最重要的研究高考动向、高考规律这件事给耽误了。
利用考试说明摸清高考内容
怎样提高高考的复习效率呢？我觉得应该做到的第一点，就是认真落实考试说明。考试说明是高考唯一依赖的大纲，高考的题型分布、难度分布、考试重点、考试难点，都明明白白地写在考试说明中。
高考被定义为一个选拔性的考试，它的特点就是要让前20％的人拉开档次，所以高考题肯定是有相当难度的，对这个不要抱有任何侥幸心理，说这个高考题要是简单了怎么办。另外，国家规定高考题的难度系数应该维持在055左右，所以如果某一年由于把握不准，题目出得简单了，第二年肯定要调整一下，这个调整是围绕着高考的难度系数055进行调控的，这些信息都写在了考试说明中。所以高考之前，进入3月份，各个省市的考试说明都已经颁布了，那么我们应该抓住考试说明，认真落实到高考前的复习准备中去。
具体地应该做三项工作：第一，认真学习考试说明。不光是老师，学生更应该掌握考试说明。如果让学生知道该怎么考，他就可以根据自己的情况，在复习的过程中审慎地加以取舍，根据自己知识点的掌握情况，搞清楚侧重点，加以定点突破。比如说有些题目，他感觉高考肯定不考，那么就可以放弃；有些题目，根据他的学习体会，这种题目一定要考，所以他就得认真重视；有些题目，虽然在高考范围内，但是已经超出了他力所能及的范围，那么他就可以暂时放弃。但是这个考试说明颁布以后，很多老师自己都不看，所以学生就更不知道，于是就顺着自己固有的教条的甚至是落伍的那一套思路，领着全体的学生走了一条黑暗的道路，这种损失是非常大的。
在人大附中，高考大纲一旦颁布，我们这个教研组的老师就坐到一起，集体研究、集体学习，然后根据大家共同的学习心得集体备课，找一个专家，再把全体学生召集在一起，领着学生一字一句地去学习、分析、解读这个考试说明。经过多年实践，我们感觉到学生参加这样的一种活动是非常有收获的。如果没有这个条件，那么作为老师，你完全可以利用你的课堂，领着学生逐字逐句地去分析这个考试说明。这对学生的后续复习行为的指导意义也是非常有用的。我们在学习考试说明的过程中会发现，考试说明对很多问题都做了明确的规范。比如说考试说明中明确强调，高考要“突出考察通性通法，淡化特殊技巧”。有时候听一些老师讲课，为了追求一题多解，就给学生总结了很多方法，甚至有些老师是为了方法去设计题目，但是这种方法本身不是通性通法，不在高考要求之列，所以不能为了方法、为了技巧去探讨这些东西，应该是围绕着高考的要求来展开。
高考考什么（2）
第二，要看今年的考试说明和去年的考试说明相比，它的变化在哪儿。每年的考试说明，和上一年相比，都有一些新的变化，调整的地方，往往就是命题专家认真考虑要出题的地方。我记得有一次平时的考试，数学的一个选择题，四个选项都没有对的，结果此题无解，怎么办呢？就找了一个正确的答案，告诉同学们哪一个题目，把那个答案A改了一下，其实A本身并没有矛盾之处，我们把它一改，聪明的学生连考虑都不用考虑，答案就是A了，此地无银三百两。在这个地方加以修改，往往隐含着一定的动机，所以这种时候，还真得引起重视。北京市2009年的考试说明，和2008年相比，我看有了几个变化，语文变化了3个地方，英语增加了101个单词，数学是后边的那个样板题做了一些微调，其他省市的考试说明，我看都有了一些相应的变化。所以人大附中的做法就是，新的考试说明出来了，一个老师读新的，一个老师拿着去年的，把那些有所变化的地方，哪怕是一字一句，都找出来，因为其中潜藏着命题专家的一些动意，应该认真分析。
第三，别光看考试说明，读完考试说明之后，你得看看它和近几年高考题的吻合程度。因为高考题是围绕着考试说明来落实的，所以应该分析近5年的高考题对考试说明的落实情况。你这样一分析，就会发现，高考题真的是严格按照考试说明来做的，这是第一个问题。第二个问题是，要分清重点，因为考试说明的颁布一般都到3月份了，高考已经迫在眉睫，我们不可能全面撒开，也不可能面面俱到，这就要求我们得把一些核心的东西挖掘出来。
高考数学对每一个知识点有三个层面的要求，第一个层面叫了解，第二个层面叫理解和掌握，第三个层面叫灵活运用，它有不同层次的考察的难度。我前不久召集了宽高教育集团的一些专家级教师和人大附中的一些骨干教师，跟*考试中心想联合搞一个课题，为2010年高考的学生提供一套确实是高效、有针对性的、有创新意识的复习资料，我们编写的这个科研课题的名字就叫《高能高分》，单独面向山东的就叫《直击考点》。我们第一步，先把各个省市近5年的高考题收集在一起，然后根据每一个知识点，进行认真的排查、梳理，通过分析发现，比如说数学看似有130个左右的知识点，但是作为高考来讲，有些知识点是每年必考的，有些知识点是这么多年从来不考的。
我们在对高考的知识点进行梳理的过程中，发现有这么三类，第一类是每年高考都考的，应该是高考的重中之重。我分析了一下，近5年高考必考的内容，比如集合的运算，函数的单调性与导数，函数的最值，函数的极值与导数，三角函数的图像与性质，等差数列的前n项和的公式，一元二次不等式的解法，椭圆的方程，直线和圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的应用，线面垂直，二面角，还有古典概型等。不分析不知道，一分析吓一跳。高考不刻意追求知识的覆盖面，对一些支撑数学体系的骨干内容要进行重点考察，要增强它的考察比重，所以我们在复习的时候，特别到了第二轮以后，我们就不能刻意地去追求撒密网抓小鱼了，而是应该对这些非常核心的地方，进行重点把关。
高考考什么（3）
再一类就是，有些年考、有些年不考的，这些内容也不能放弃。你必须做好充分的准备，比如说高考的应用题，有时候考函数的应用题，有时候考数列的应用题，有时候考概率的应用题，有时候考不等式的应用题，考察的内容不一样，对这些内容是不能放松的。
第三类就是每年都不考，或者是很少考到的题目。这种知识点大多就是在考试说明中要求了解的，对这些知识点我感觉一般的就可以放弃了。但是有个别的地方，还不能完全放弃，因为虽然这个知识点不考，但是它对别的知识点是一个铺垫和基础，比如说三角函数的符号的判断，这个问题每年都不考，但是对整个三角函数的学习是一个基础，所以不能放弃。
“三�