的点。因此，按照康托尔的标准，正方形内所有点数所构成的无穷大数与线段上点
数的无穷大数相等。
用同样的方法，我们也容易证明，立方体内所有的点数和正方形或线段上的所
有点数相等，只要把代表线段上一个点的无穷小数分作三部分，并用这三个新小数
在立方体内找“对偶点”就行了。和两条不同长度线段的情况一样，正方形和立方
体内点数的多少与它们的大小无关。
尽管几何点的个数要比整数和分数的数目大，但数学家们还知道比它更大的数
。事实上，人们已经发现，各种曲线，包括任何一种奇形怪状的样式在内，它们的
样式的数目比所有几何点的数目还要大。因此，应该把它看作是第三级无穷数列。
按照“无穷算术”的奠基者康托尔的意见，无穷大数是用希伯来字母（读作阿
莱夫）表示的，在字母的右下角，再用一个小号数字表示这个无穷大数的级别。这
样一来，数目字（包括无穷大数）的数列就成为
我们说“一条线段上有个点”或曲线的样子有种“，就和我们平常说“世界有
七大洲”或“一付扑克牌有五十四张”一样。
在结束关于无穷大数的讨论时，我们要指出，无穷大数的级只要有几个，就足
够把人们所能想象出的任何无穷大数都包括进去了。大家知道，表示所有整数的数
目，表示所有几何点的数目，表示所有曲线的数目，但到目前为止，还没有人想得
出一种能用来表示的无穷大数来。看来，头三级无穷大数就足以包括我们所能想到
的一切无穷大数了。因此，我们现在的处境，正好跟我们前面的原始部族人相反：
他有许多个儿子，可却数不过三；我们什么都数得清，却又没有那么多东西让我们
来数！
第二章 自然数和人工数
１．最纯粹的数学
数学往往被人们，特别是被数学家们奉为科学的皇后。贵为皇后，它当然不能屈尊俯就其它学科。因此，在一次“纯粹数学和应用数学联席会议上”，当有人邀请希尔伯特作一次公开演讲，以求消除在于这两种数学家之间的敌对情绪时，他这样说：
☆经常听到有人说，纯粹数学和应用数学是互相对立的。这是不符合事实的，纯粹数学和应用数学不是互相对立的。它们过去不曾对立过，将来也不会对立。它们是对立不起来的，因为在事实上它们两者毫无共同之处。☆
然而，尽管数学喜欢保持自己的纯粹性，并尽力远离其它学科，其他学科却一直打算尽量同数学“亲善”，特别是物理学。事实上，纯粹数学的几乎每一个分支，包括诸如抽象群、不可逆代数、非欧几何等一向被认为是纯而又纯、决不能派任何用场的数学理论，现在也都被用来解释物质世界的这个性质或那个性质了。
但是，迄今为止，数学还有一个大分支没找到什么用途（除了起智力体操的作用以外），它真可以戴上“纯粹之王冠”哩。这就是所谓“数论”（这里的数指整数），它是最古老的一门数学分支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。（录入者，在计算机加密方面已经有所应用）
说来也怪，这门最纯粹的科学，从某种意义上说，又可以称为经验科学，甚至可称为实验科学。事实上，它的绝大多数定理都是靠用数学试着干某些事情而建立起来的，正如物理学定律是靠用物体试着干某些事情而建立起来一样。并且，数论的一些定理已“从数学上”得到了证明，而另一些却还停留在经验的阶段，至今仍在使最卓越的数学家绞尽脑汁，这一点也和物理学一样。
我们可以用质数问题作为例子。所谓质数，就是不能用两个或两个以上（１除外）较小的整数的乘积来表示的数，如１，２，３，５，７，１１，１３，１７，等等。而１２可以写成2×2×3，所以就不是质数。
质数是没有终极的呢，还是存在一个最大的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数的乘积呢？这个问题是欧几里得（Euclid）最先想到的，他自己还作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数的展延是不受任何限制的。
☆为了研究这个问题，不妨暂时假设已知质数的个数是有限的，最大的一个用Ｎ来表示。现在让我们把所有质数都乘起来，再加上１。这写成数学式是：
（1×2×3×5×7×11×13×……×N）＋1
这个数当然比我们所假设的“最大质数”N大得多。但是，十分明显，这个数不能被到N为止（包括N在内）的任何一个质数除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除它，都会剩下1。
因此，这个数要嘛本身也是个质数，要嘛就是能被比Ｎ还大的质数整除。而这两种可能性都和原先关于N为最大质数的假设相矛盾。☆
这种证明方式叫做反证法，是数学家们爱用的工具之一。
我们既然知道质数的数目是无限的，自然就会想问一问，是否有什么简单方法可以把它们一个不漏地挨个写出来。古希腊的哲学家兼数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）提出了一种名叫“过筛”的方法。这就是把整个自然数列１，２，３，４。。。。。。统统写下来，然后去掉所有２的倍数、３的倍数、５的倍数等等。前１００个数“过筛”后的情况如图９所示，共剩下二十六个质数。用这种简单的过筛方法，我们已经得到了十亿以内的质数表。
如果能导出一个公式，从而能迅速而自动地推算出所有的质数（并且仅仅是质数），那该多简便啊，１６４０年，著名的法国数学家费马（Pierre Fermat）认为自己找到了一个这样的公式。这个公式是
exp（2；exp（2；n））＋1，n取自然数的各个值１，２，３，４等等。从这个公式我们得到：
exp（2；exp（2；1））＋1=5
exp（2；exp（2；2））＋1=17
exp（2；exp（2；3））＋1=257
exp（2；exp（2；4））＋1=65；537
这几个数都是质数。但在费马宣称他取得这个成就以后一个世纪，德国数学家欧拉（Leonard Euler）指出，费马的第五个数不是个质数，而是6；700；417和641的乘积。因此，费马这个推算质数的经验公式被证明是错的。
还有一个值得一提的公式，用这个公式可以得到许多质数，这个公式是：
exp（n；2）…n＋41
n也取自然数各个值１，２，３等等。已经发现，在n为１到40的情况下，用这个公式都能得出质数。但不幸得很，到了第四十一步，这个公式也不得了。
事实上，
exp（41；2）…41＋41
这是一个平方数，而不是质数。
人们还试验过另一个公式，它是：
exp（n；2）…79n＋1601
这个公式在n从１到79时都能得到质数，但当n=80时，它又不成立了！
因此，寻找只给出质数的普遍公式的问题至今还没有解决。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…23 21：01：00
数论定理另一个有趣的例子，是1742年提出的所谓“哥德巴赫（Goldbach）猜想”
这是一个迄今既没有被证明也没有被推翻的定理，内容是：任何一个大于2的偶数都能表示为两个质数之和。
从一些简单的例子，你很容易看出这句话是对的。例如；12=7＋5；24=17＋7；32=29＋3，但是数学家们在这方面做了大量工作，却仍然既不能做出肯定的断语，也不能找出一个反证。1931年，苏联数学家史尼雷尔曼（Schnirelman）朝着问题的最终解决迈出了建设性的第一步。他证明了，每个偶数都能表示为不多于300；000个质数的和。“300；000个质数之和”和“2个质数之和”之间的距离，后来又被另一个苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短了。他把史尼雷尔曼那个结论改成了“四个质数之和”。但是，从维诺拉多夫的“四个质数”到哥德巴赫的“2个质数”，这最后两步大概是最难走的。谁也不能告诉你，到底是需要几年还是需要几个世纪。（※我国青年数学工作者陈景润又把这个结果推进了一步。他的结论是：任何一个大于2的偶数都可以表示为一个质数和不多于两个质数的乘积之和※）
可见，谈到推导能自动给出直到任意大的所有质数的公式的问题，从现在来看，我们离这一步还远得很哩！目前我们甚至连到底存在不存大这样的公式，也都还没有把握呢！
现在，让我们换个小一点的问题看一看－－在给定的范围内质数所能占的百分比有多大。这个比值是随着数的增长加大还是减小，或者是近似为常数呢？我们可以用经验的方法，即通过查找各种不同数值范围内质数数目的方法，来解决这个问题。这样，我们查出，100之内有26个质数，在1；000之内有168个，在1；000；000之内有78；498个，在1；000；000；000之内有50；847；478个。把质数个数除以相应范围内的整数个数，得出下表：
数值范围 质数数目 比率 1/ln（n） 偏差（
％）
1－100 26 0。260 0。217 20
1－1000 168 0。168 0。145 16
1－exp（10；6） 78；498 0。078498 0。072382 8
1－exp（10；9） 50，847，478 0。050847478 5
从这张表上首先可以看出，随着数值范围的扩大，质数的数目相对减少了。但是，并不存在质数的终止点。
有没有一个简单方法可以用数学形式表示这种质数比值随范围的扩大而减小的现象呢？有的。并且，这个有关质数平均颁的规律已经成为数学上最值得称道的发现之一。这条规律很简单。就是：从1到任何自然数Ｎ之间所含质数的百分比，近似由Ｎ的自然对数的倒数所表示。Ｎ越大，这个规律就越精确。
从上表的第四栏，可以看到Ｎ的自然对数的倒数。把它们和前一栏对比一下，就会看出两者是很相近的，并且，Ｎ越大，它们也就越相近。
有许多数论上的定理，开始时都是凭经验作为假设提出，而在很长一段时间内得不到严格的证明的。上面这个质数定理也是如此。直到上世纪末，法国数学家阿达马（Jacques Solomon Hadamard）和比利时数学家布散（deLa Vallee Poussin）才终于证明了它。由于证明的方法太繁难，我们这里就不介绍了。
既然谈到整数，就不能不提一提著名的费马大数定理，尽管这个定理和质数没有必然的联系。要研究这个问题，先要回溯到古埃及。古埃及的每一个好木匠都知道，一个边长为3：4：5的三角形中，必定有一个角是直角。现在有人把这样的三角形叫做埃及三角形。古埃及的木匠就是用它作为自己的三角尺的。
作者：wyhsillypig 回复日期：2004…12…23 21：06：00
公元三世纪，亚历山大里亚城的刁番都（Diophante）开始考虑这样一个问题：从两个整数的平方和等于另一整数的平方这一点来说，具有这种性质的是否只有3和4这两个整数？他证明了还有其他具有同样的整数（实际上有无穷多组）并给出了求这些数的一般规则。这类三个边都是整数的直角三角形称为毕达哥拉斯三角形。简单说来，求这种三角形的三边就是解方程
exp（x；2）＋exp（y；2）=exp（z；2）
式中的x，y，z必须是整数。
1621年，费马在巴黎买了一本刁番都所著〖算术学〗的法文译本，里面提到了毕达哥拉斯三角形。当费马读这本书的时候，他在书的空白处作了一些简短的笔记，并且指出，
exp（x；2）＋exp（y；2）=exp（z；2）
有无穷多组整数解，而形如
exp（x；n）＋exp（y；n）=exp（z；n）
的方程，当n大于2时，永远没有整数解。
他后来说：“我当时想出了一个绝妙的证明方法，但是书上的空白太窄了，写不完。”
费马死后，人们在他的图书室里找到了刁番都的那本书，里面的笔记也公诸于世了。那是在三个世纪以前。从那时候以来，各国最优秀的数学家们都尝试重新作出费马写笔记时所想到的证明，但至今都没有成功。当然，在这方面已有相当大的进展，一门全新的数学分支－－“理想数论”－－在这个过程中创建起来了。欧拉证明了，方程
exp（x；3）＋exp（y；3）=exp（z；3）
和
exp（x；4）＋exp（y；4）=exp（z；4）
不可能有整数解。狄里克莱（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）证明了exp（x；5）＋exp（y；5）=exp