而且每一项信息的语义内容与思维主体之间的关系并不象经
典集合中那种非此即彼的关系，而是一种模糊关系。思维过程
是凭借着模糊信息作出“准确的”或“部分准确的”判断的
过程。在此过程中，随着系统的思维熵变小，思维主体知识
结构状态变化与思维目标之间的不确定性“尽可能地”被消
除。思维过程不同于一般机器对机器的机械识别。两者本质
的区别是：在机器对信息的识别中，信息的表述必须是确定
的，识别结果的表述必须是确定的；但是在思维过程中，信
息可以是模糊的信息，对知识状态变化的判断也可以是模糊
的。现实世界中用于思维的信息大都与思维主体的知识结构
具有相似性，而不是相等性。因而以模糊信息为基础的学习模
型在思维科学中的应用是一个十分引人入胜的课题。
思维过程的自然语言描述具有一定程度的局限性。为了
形象而直观地研究思维过程，我们应赋于其以数学化的内
容。
第 324 页
表示与
表示
元向量可表示思维主体知识结构的状态是一个
有机的整体。知识元之间也存在着模糊相关关系。设
为知识对其本身影响程度的加权因子， 表示对
对影
影响的加权因子，
我们先来定量描述思维主体的知识结构。思维主体的知
识结构是由不同学科门类的知识以不同的比例组合而成的。
设为组成某一知识结构的知识元， 知识
元在与之有相似点的信息作用下可发生动态变化。则一个
影响的加权因子？余类推表示的加权因子。
对
与相似的语义信息影响的加权因子？？
相似的语义信息影响的加权因子，则
相似模糊的语义信息
对
表示与对
的状态变化可表示为：
同理
？
。
程
将上述个等式写成矩状的形式则可得知识结构的状态方
。
第 325 页
表示思维主体的知识结构，
表示思维信息向量，它对知识结构的变化产
、
生作用。
为知识结构矩阵，它表示
知识结构中各知识元之间的内部联系。
写成向量的形式
其中
向量
为信息矩阵，表示信息与
知识结构之间的关系及信息结构状态对知识结构状态作用的
强度。
～
第 326 页
我来描述思维势。思维势是思维能力的描述，它与知
识结构有序程度的变化有关。如果我们用
变化到
表示思维势，则
当思维主体知识结构从时，思维势对应从变
到。思维势增加的宏观表述是与有关的，
新的信息的产生，从而产生动作与激励。则我们可得到：
上式称之为思维反应方程。为思维反应矩阵，它表示知识
结构有序性变化对思维势影响的强度。
综上所述，思维过程的方程可表述为：
（知识结构状态变化方程）
（思维反应方程）
（初始条件）
、
都应是模糊矩阵矩阵中的元素都应是统计推断与综合评
思维过程具有不确定性，因而它为一模糊过程，
判的结果。
第 327 页
提高思维效率的途径
理论研究的目的在于指导实践，思维过程定量化研究要
以认识思维机制并利用其提高思维效率为目标。从思维过程
的方程式中我们可以看出，知识结构及其有序性是思维跃递
的基础，增加知识元之间的相关性是提高知识有序性的途径
之一。因此，在当前科学技术飞速发展，学科间横向关系愈
来愈密切的情况下，不论是自然科学工作者还是社会科学
工作者，一定要顺应发展重建和更新自己的知识结构，特别
是自然科学工作者要增加社会的知识元，社会科学工作者要
增加自然科学技术的知识元，那对提高思维效率是十分重要
的。
在思维过程中，知识结构发生变异，知识结构有序度的
提高是和作为思维基础的信息流的有序性有关的。然而信息
的自发产生和分布是杂乱无序的，这就给信息的有效利用造
成了困难。解决这种困难的途径是各种信息系统对信息施加
的空间有序一一分类，和时间有序一一分级。经过分级分类预
处理的信息由于其有序性的提高，会使思维主体对信息利用
成倍提高。那就要求思维主体掌握经过预处理的二次信息的
规范化的著录和编排方式，学会使用各种信息检索工具，各种
思维工具的有效运用，将会成倍地提高思维效率。
第 328 页
”学
薛 茂芳
（ 山东
乞评指
坊教有学院）
根
为了探索高师（包括教育学院，下同）数学专业初等数
学研究与教法课程的改革，针对初等数学研究传统中的“纵
向”、“中轴”发展偏重，笔者曾经冒昧建议： 现代科
学技术高度分化又高度综合，相互渗透产生新学科的成功经
验，对整个初等数学教学积极开展“横向”研究，或“边
缘”研究，从而逐步创设和应的“断面”学科或“交
想的“ 门叫
科，在课程结构方面先行改革，很可能会取得成功。在这些设
向断面”学科或“边缘交叉”学科当中，
做“数学语言学” 。本文试就数学语言及其研究中几个
基本问题，作些初步讨论，不妥或之处，
正
什么是数学语言
第 329 页
希尔伯特
布劳维尔
） 和
能力的具体实施手段。认识功能通过思维手段所获得的结
果，便是思想，便是知识。
人类区别于其他高级动物的另一本质属性，是用语言表
达思维。“语言表达思维”是人类能够交流思想、传播知识
的前提，是人类社会能够赖以存在的必要条件之一。斯大林
说：“语言是同思维直接联系的把人的思维活动的结果、
认识活动的成果用词和由词组成的句子记载下来，巩固起
来，这样就人类社会中的思想交流成为可能了。不难
设想，思想或知识，人类这些“看不见，摸不着”的精神产
品，如果没有语言的相辅相成，如果不用语言表达出来，传
播出去，那么，思想或知识不仅不能形成，即使形成了，也
只能是永远不能开发的精神能源。
性”、“高度的抽象性”和“表达的形式
数学思维，是一种特殊的思维。它的“特殊性”突出地
表现在“严格的逻辑
罗素
化”等三个方面，以至导致产生了数学史上关于数学的所谓
“三大学派”， 怀特海
）的逻辑主义学派、
的直觉主义学派和
）的形式主义学派。三个学派固然都有自己的片面性，
但在探索、认识、总结数学思维的特殊性方面，却都立下了
不朽的功勋。
专门语
按照前述语言与思维的一般关系可以推断：必有表达
数学思维的言，必有充分体现数学思维特点的特殊语
言，这种专门特珠语言，我们把它叫做数学语言。数学
语言学，则是关于数学思维的语言表达特点和其他规律的学
问，是数学、思维学和语言学等有关学科的边缘交叉学科
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数学语言研究的目的
学对数学教学的横向断面学科。
本文所谓的“数学语言学，实际上还不是全部的数学语言
学，而只是数学语言学的一个特殊部分，即“数学教学语言
学”。从这个意义出发，数学言学又可以看作是普通语言
正如学校教育各学科所肩负的使命一样，数学教学是以
具体传授数学科学知识，进而培养相应能力为目的的一项社
会实践，是整个学校教育系统的一个分系统，子系统。数学
教师，作为数学教学系统的主导和灵魂，既要不断地从数学
科学知识宝库那儿“输入”知识，又要有效地向自己的教学
对象“输出”知识，而在从“输入”到“输出”的过程中
“运载”这些知识的信息，就是语言，就是数学语言。所
以，数学教师应当学习和研究数学语言学，能够熟练地掌握
和运用数学语，具备良好的阅读能力和表达能力。
最准确、最深刻、最完整、
数学教师一旦掌握了数学语言，在阅读教材和参考有关
教学的各种数学著作时，就能
最迅速地懂得别人说了些什么，因而能大大地提高工作效
率。数学教学实践中存在的所谓“吃不透”教材的现象，对
识
一个具有相当专业基础的教师来说，一般不是因为“数学知
不足，而往往是因为在数学思维及其语言表达方面“不
析。
在行”。现行教材关于数的绝对值的定义，许多教师觉得
“不好讲”，并有囫囵吞枣之不痛快感，主要原因就在于，作
为思维科学基本学科之一的形式逻辑，未能具体提供科学地
剖析此类定义方式的思维根据，致使教师对该定义在语言表
达上的特殊性，感到疑惑不解，无从着手
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数学语言的特点
数学教师一旦掌握了数学语言，那么，不管是在口头
上，或是在书面上，还是在口头与书面之外的其他方面，就
能够巧妙地运用各种语言信息，科学地控制学生的思维，获
得称心如意的教学效果。数学教学实践中存在的所谓“话说
不在点子上”，反应迟钝，教态呆滞，板书混乱，不会使用
图表、教具、彩色粉笔以及“会说（讲话）不会写（文
章）”等现象，仍然主要是个“语言表达”问题，而且一向
被轻视。欲克服此类缺陷，切勿以“茶壶煮水饺”故步自
封，而应努力学习研究数学语言学。
总之，数学语言是攻读数学著作、向前人学习数学知识
的有力工具，也是向别人传授数学知识的基本依托。学习数
水平
学语言学，有助于培养自学阅读能力，有助于提高语言表达
不仅使知识传授更为奏效，而且在潜移默化之中使学
生逐步树立辩证唯物主义的世界观。这就是为什么说，一个
好的数学教师，必定同时又是半个数学语言家或数学思想家
的道理。
数学语言的基本特点，在笔者看来，至少存在以几下
点。
一日简练。
文学作品的形象描绘，以不惜文字的精工编织为代价，
换来了文学语言的艺术美；数学科学对客观世界本质的抽象
反映，则以简要、精炼著称。正如“红妆”是美，“素裹”
也是美一样。
在数学中，一条应用广泛的规律用一句话就能概括；标志
～
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微分方程组（又称麦克斯韦方程组）即可表示出
着自然科学史上第二次大综合的整个电磁学理论，由一组偏
爱因斯垣的
一个数学公式予告了原子能的存在
言的“纸上谈兵”能够解决实践中不可思议的复杂课题
海王星的发现，数学语
而
优美的乐曲用七个阿拉伯数字外加一些附加符号即可谱写，
更进一步使我们领略到数学语言的简炼特色。
数学语言之简炼，一方面体现于量上之“少”，一方面
则见著于质上之“精”。这是由数学科学的研究对象、研究
方法、科学属性和抽象严密的思维特点所决定的。文学反映
社会，反映活生生的人，总是在“表现”上做文章，以“表
现”刻画本质。文学描写最忌讳直来直去，不加修饰。对
一部优秀作品的文字要求，总是写得愈婉转愈好，既不在
文字多寡上制定规范，更一贯反对概念化、脸谱化、公式
化。数学则相反，它以“数”“形”或“结构”④等理想模
型为对象，从一开始便透过“现象”而潜入内部，直取要
害，明揭规律，在“本质”上大显身手。“本质”同“现象”
，可以借来作为对数学语言之简炼特
相比，从量上讲是“少”的，从质上说又是“精”的，反映
在表达“外壳”上，便是数学语言的简要和精炼。数学语言
不允许存在与反映本质规律无关的文字，不允许动感情，随
意褒贬夸张。“增之一分则太长，减之一分则太短，著粉则
太白，施朱则太赤”
点的文学形容。
二曰严密。
数学语言的严谨致密结构，同日常语言的宽容松散结
构，是一个鲜明的对比。
日常语言是在人类漫长的进化史上自然产生、自然发展
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～
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。数学语
念。但在数学中关于数值的“近似”却总是伴随一个“精
度”概念，以明确其“近似”程度
于边数相同的几个多边形的“相似
包含有两个本质属性： “ 对应角相等” 和“ 对应边成比
例” 。
科学对客观世界本质规律的揭示与描述越精确，才越逼
真，越逼真也便越成熟。数学科学对客观世界本质规律的揭
示描述，采取的基本方法是定量化。定量化方法以高精度精
确著称，它不仅使数学科学迅速扩散渗透到各个科学领域。
成为一门相当成熟的科学，而且使人们把能否成功地运用数
学认定为衡量“任何一门”科学成熟与否的标准
言的精确特点正是数学学科揭示描述方法定量化和思维方法
逻辑化的直接反映。数学语言不允许存在外延模糊或内涵不
定的概念，不允许制作似是而非的命题，也不允许以