无穷是一个永恒的谜- 第2部分

　　康托后来把超穷数看成是借助于抽象从实无穷集合的存在中自然地产生出来的，他指出，超穷数与有穷无理数是同舟共济的，两者的基本性质是相似的，因为前者和后者一样也是实无穷的确定表达形式。但是，由于康托强调新数内在的和观念上的相容性这一形式主义观点，他明确地表达了对无穷小理论的反对，因为他认为小于任意小的有穷数的非线性零数是不存在的。
　　总之，康托认为无论就有穷数和无穷数而言，在本质上都可以从两种角度去进行分析：一是所谓的内在的真实性，或固有的真实性，即是指在思想中可明确定义，从而与思维的其他成分可明确区分的真实性；二是所谓的外部的真实性，即是指其在物理世界的对象中和过程中的具体体现。
　　康托提出他的超穷集合论后，许多人都提出了不同的反对意见，而且他自己也发现了他建立的超穷集合论中所出现的令人不愉快的悖论，这一切都导致了二十世纪初期关于数学基础的深入研究和理解。人们以各自不同的方法来避免或解决这些讨厌的困难，而困难的根源又正是在于无穷集合和无限过程中所用到的无穷。于是在数学家中分化出几大派别，以Zermelo为首的公理化学派认为公理化可以澄清悖论；以Frege、Russell和Whitehead为首的逻辑派认为数学可以从逻辑推导出来；以Kronecker、Brouwer为首的直观派更相信直观和构造性的证明；以Hilbert为首的形式派主张逻辑必须和数学同时加以研究，数学本身就是一堆形式系统，数学中研究的对象就是符号本身，符号就是本质，它们并不代表理想的物理对象。这些学派对无穷的看法是不同的，公理化学派承认无穷集合的存在，并且提出了著名的引起广泛争议的选择公理。不久，哥德尔的不完全性定理产生了新的实质性进展，此定理的一个含义是不仅数学的全部，甚至是任何一个有意义的分支也不能用一个公理系统概括起来，因为任何这样的公理系统都是不完备的。可以说哥德尔的结果给了公理化方法一个致命的打击，因为他指出了公理化方法令人震惊的缺陷。
　　罗宾逊（Robinson）于二十世纪六十年代提出了一种称为非标准分析的理论，在这一理论中无穷小被定义为一个数＇注＇，它大于零，小于任何正数。尽管罗宾逊的理论没有得到更多新的结果，但它无疑加深了我们对无穷小的认识。
　　关于无穷人们还一直在探索，这些探索将大大加深我们对无穷的理解，也将加深我们对运动本身的理解。
　　＇注＇泊松（17811840）在此之前已提出小于任何给定的无论多小的正数的非零正数是存在的。