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正如怀特海、柏格森和波普尔所设想的那样，非决定论现在出现于物理学中了。这不再是某种先验形而上学选择的结果，而是不稳定动力学系统所需的统计描述。过去几十年里，许多科学家提出了量子理论的重新表述或者扩展。但是，完全意想不到的是，我们现在有必要对经典力学加以扩展。甚至更加意想不到的是，经典力学的这种修正可以引导我们扩展量子理论。
II
我们在着手修正牛顿定律之前，先概括一下经典力学的基本概念。考虑质量为m的质点运动。随着时间的推移，它的轨道通过其位置r（t）、速度v＝dr／dt以及加速度a=d2r/dt2进行描述。牛顿基本方程通过表达式F＝ma把加速度a与力F联系起来。这个表达式包含经典惯性原理，即若没有力，则没有加速度，速度保持不变。当我们从一个观察者走向相对于第一个观察者作匀速直线运动的另一个观察者时，牛顿方程保持不变。这被称为伽利略不变性，在第八章我们将看到，它已被相对论深刻改变了。这里，我们只处理非相对论性牛顿物理学。
我们看到，时间仅通过一个二阶导数进入牛顿方程。也就是说，牛顿时间是可逆的，未来和过去被认为起相同作用。而且，牛顿定律是确定性的。
现在考虑更一般的情形，由N个粒子组成的系统。在3维空间里，我们有3N个坐标q1，…，q3N和3N个相应的速度v1；…，V3n。在现代动力学表述中，我们通常把坐标和速度（或者动量p1，…，p3n，在简单情况下p=mv）均视为自变量。第一章提到，动力学系统的态与相空间中的点相联系，它的运动与相空间中的轨道相联系。经典动力学中最重要的量是哈密顿量H，它定义为用变量q和p所表示的系统的能量。一般来说，H是动能Ekin（p）和势能v（q）之和（q或q代表所有自变量的集合）。
一旦我们得到了哈密顿量H（p，q），就能够推导出运动方程，它确定坐标和动量随时间推移的演化。这一步骤对力学专业的所有大学生都熟悉。从哈密顿量导出的运动方程称为正则运动方程。牛顿方程是二阶的，即包含二阶时间导数；哈密顿方程与牛顿方程不同，它们是一阶的。对于单个自由粒子，H＝p2/2m，动量p随时间不变，坐标随时间呈线性变化，q=q0＝q0＋pt/m。依照定义，对于可积系统，哈密顿量只可用动量来表达（如果有必要，可适当改换变量）。庞加莱研究了形如H＝H0（p）＋λV（q）的哈密顿量，即可积部分（“自由哈密顿量”H0）与相互作用所致的势能之和（又是后面要用到的标度无关因子）。他证明，这类哈密顿量通常不是可积的，这意味着我们不能消除相互作用和回到独立单位。我们在第一章提到，不可积性由与廉加莱共振相联系的发散分母所致。作为廉加莱共振的结果，我们不能解出运动方程（至少不能用耦合常数人的幂级数形式表示）。
在下文里，我们感兴趣的主要是不可积的大庞加莱系统（简称LPS。我们已经看到，庞加莱共振与对应于各种运动模式的频率相联系。频率ωk依赖于波长k。（用光作例子，紫外光与红外光相比有较高的频率。和较短的波长k。）我们考虑频率随波长连续变化的不可积系统时，满足LPS的定义。系统所占据的体积足够大，大到表面效应可以忽略的程度，即满足这个条件。这就是为什么我们把这些系统叫做大庞加莱系统的原因。
LPS的一个简单例子，是一个频率为ω1的振子与一个给定场耦合之间的相互作用。在我们这个收音机和电视机的世纪里，我们都听说过电磁波这个词。电磁波的幅度由场确定，场由位置和时间的函数φ（x，t）描述。如本世纪初所确立的，场可以认为是频率为ωk的振荡的叠加，其波长k从系统本身的大小改变到基本粒子的尺度。在我们所考虑的振子…场相互作用中，每当场的频率ωk等于振子频率ω1时，就会发生共振。只要ω1＝ωk，在我们求解振子与场相互作用的运动方程时，就会遇到庞加莱共振1/（ω1…ωk），它对应于发散。也就是说，当分母为零时，这些项趋于无穷大，而变得无意义。我们将看到，我们可以在我们的统计描述中消除这些发散。
庞加莱共振导出一种混沌形式。事实上，大量计算机模拟表明，庞加莱共振导致随机轨道的出现，犹如确定性混沌的情形。在这种意义上，在确定性混沌与庞加莱不可积性之间存在着惊人相似之处。
III
像前几章所做的那样，我们将考察概率分布ρ（q，p，t），它的时间演化很容易从正则运动方程推导出来。我们现在所处状况与对混沌映射相同，即用与佩龙…弗罗贝尼乌斯算符相联系的统计描述，代替运动方程。在经典力学中，我们还遇到称为刘维尔算符的演化算符，它通过方程确定ρ的演化。ρ的时间变化通过算符L作用于ρ上而获得。若分布函数是时间无关的，则Lρ＝0．这对应，热力学平衡。这样，如在第三章第I节中所看到的，ρ仅依赖于能量（或哈密顿量），它是一个运动不变量。
像在第四章对混沌系统所作的解释那样，在统计层次求解动力学问题需要确定L的谱分解。因此，我们必须确定L的本征函数和本征值。我们看到，谱分解依赖于我们在希尔伯特空间里用过（且对可积系统仍然适用）的“正经”函数空间。按照基础教科书中一个很重要的定理，算符L在希尔伯特空间里有实本征值ln，时间演化证明是振荡项的叠加。实际上，刘维尔方程的形式解是ρ（t）＝exp（－itL）ρ（0），振荡项exp（－itln）＝costln－isintln与本征值ln相联系，未来和过去在其中起着相同的作用。为包括不可逆性，我们需要像ln=ωn…iγn这样的复本征值。于是，这将产生对时间演化的指数 衰减， 它在未来（ t＞ 0）减小，而在过去（t＜ 0＝增加，从而时间对称性被打破。
但是，获得复本征值只有在我们离开希尔伯特空间才是可能的。现在，我们的主要目标是理解我们必须这么做的物理原因。这来自自然界中存在持续相互作用这个无可逃避的事实。我们考虑我们置身于其中的这个房间时，大气中的分子在不断地碰撞，这与诸如真空中有限数目的分子的瞬时相互作用完全不同。从而，大气中的分子在有限长的时间里相互作用，最终会逸入无穷。持续相互作用与瞬时相互作用之间的区别在从经典动力学向热力学的迁变中有至关重要的意义。经典动力学抽取一定数目的粒子，孤立地考察它们的运动，在相互作用永不停止时产生不可逆性。概言之，动力学在我们孤立地考察有限数目分子这个意义上对应于还原论观点。不可逆性则产生于一种更为整体的观点，其中我们把大量粒子所驱动的系统视为一个整体。要使这一区别更加清楚，我们将证明为什么需要奇异分布函数，且必须离开希尔伯特空间。
IV
瞬时相互作用可以用定域分布函数来描述。要描述像大气这样大的空间里的持续相互作用，我们需要退定域分布函数。为了更准确地确定定域分布函数与退定域分布函数ρ之间的区别，我们从一个简单的例子着手。在一维系统里，坐标x从…∞延伸到＋∞，定域分布函数集中在这条线的有限区段上。一个特殊情况是定域在一个给定点上且随时间沿线运动的单个轨道。相反，退定域分布函数则扩展到整条线。这两类函数描述不同的情况。作为一个例子，我们考虑散射。在通常的散射实验中，我们制备一束粒子并将其射向障碍物（即散射“中心”），于是，我们有图5．l所示的3个阶段。
在这个实验里，粒子束首先到达散射中心，然后与散射中心相互作用，最后又呈自由运动。这里，重要之点在于，相互作用过程是瞬时的。相反，对于退定域分布，粒子束扩展到整条轴，则散射既无开始亦无终止，于是我们有了所谓持续散射。
在物理学史中，瞬时散射实验起了很重要的作用，它使我们得以研究基本粒子之间的相互作用，例如质子和电子间的相互作用。然而，在许多情况下，特别在像气体和液体这样的宏观系统内，我们有持续相互作用，因为碰撞永不停止。总之，瞬时相互作用与定域分布函数（如轨道）相关联；而持续相互作用与扩展到整个系统的退定域分布相关联。
热力学系统由持续相互作用所表征，因而必须用退定域分布来描述。为了刻画热力学系统，我们必须考虑热力学极限，即在粒子数N和体积V都增加的情况下，它们的比（即浓度N／V）保持不变。尽管形式上我们考虑极限 N→∞，V－》∞，当然，根本不存在粒子数目无穷多的动力学系统（宇宙也不例外）。但这个极限只不过意味着，用1/N或1/V项描述的表面效应可以被忽略。在所有宏观物理学中，热力学极限起着核心作用。没有这一概念，我们甚至不能定义物质的状态，诸如气态、液态或固态，不能描述这些物态之间的相变，也不能区分第二章讨论过的近平衡和远离平衡这两种情况。
现在我们来解释，为什么退定域分布函数的引入迫使我们离开那类正经函数，从而离开希尔伯特空间。为了做到这一点，我们必须考虑几个初等数学概念。首先，每一位数学专业的大学生都熟悉周期函数，如sin（2πx/λ）。当我们给坐标x加上波长λ时，这一函数保持不变，因为sin（2πx/λ）=sin（2π（x＋λ）/λ）。其他的周期函数是cos（2πx/λ），或是它们的复组合ei（2πx/λ）=cos（2πx/λ）＋isin（2πx/λ）。我们通常用波矢k=2π/λ代替波长λ，并把指数eikz称为平面波。
其次，傅里叶级数（或傅里叶积分）的经典理论表明，坐标X的函数，比如f（x），可以表示为对应于波矢（的周期函数的叠加，或更特别地，可以把f（x）表达为平面波eikx的叠加。在这一叠加中，每个平面波乘以幅度φ（k），φ（k）是k的函数。函数φ（k）称为f（x）的傅里叶变换。
简言之，我们可以从坐标x的函数f（x）的描述变换成用波矢k的描述φ（k），当然，逆变换同样可能。注意到f（x）与φ（k）之间存在着一种对偶性亦很重要。若f（x）延拓一个空间间隔Δx（而在间隔外为零），则φ（x）延拓“谱”间隔Δk～1/Δx。当空间间隔Δx增加时，谱间隔Δk减小，反之亦然。
在第一章第III节和第三章第II节，我们定义了奇异函数δ（x）。如我们所见，δ（x）仅在X＝0处不等于0，从而谱间隔Δx等于0，且当Δk～1/Δx时，谱间隔是无穷大。相反，退定域函数在Δx→∞时导致了以k为自变量的奇异函数，例如δ（k）。所以，退定域分布函数对于描述持续相互作用是一个要素。在平衡时，分布函数ρ是哈密顿量H的函数（见第三章第l节）。哈密顿量包含动能，动能是动量p的函数而不是坐标的函数。因此，哈密顿量包含具有奇异傅里叶变换的一个退定域部分。这样，奇异函数在我们的动力学描述中扮演着一个重要角色并不令人感到惊异。事实上，正是我们对这些函数的需求迫使我们离开希尔伯特空间。是哈密顿量的函数的平衡分布，已经处于希尔伯特空间之外了。
V
我们现在借助刘维尔算符（参见第III节）将统计描述与轨道描述进行比较。我们感到很意外，这是由于统计描述引入了完全不同的一些概念，甚至在我们考虑的沿一条直线运动的自由粒子最简单的情况下已经显而易见。我们在第II节看到，粒子的坐标q随时间呈线性变化，而动量p则保持不变。相反，统计描述用与q的博里叶变换相联系的波矢k和动量P来定义。我们研究声学或光学问题时经常涉及波矢，但是在这里，波矢出现在动力学问题中了。原因是，对于自由粒子，刘维尔算符L仅是一个导数算符。我们在第四章第I节注意到，本征函数是指数exp（ikx），本征值是pk/m。因为exp（ikx）＝cos kx＋isinkx，所以本征函数exp（ikx）是周期函数。与定域于单个点上的轨道形成鲜明对照的是，它扩展到整个空间。在统计表述中，就自由粒子而言，运动方程的解可以通过平面波的叠加而得到。当然，在这个简单例子中，这两种描述预期是等价的。运用傅里叶�