易有很高的成功可能性时，普林斯顿－新港在标准普尔期货方面投资了2500万美元，每天的交易量达到了700笔。曾经有一段时期，他们基金的交易额达到了纽约股票交易所的整个交易额的1％。
第76节：第四章（1）
这辆〃送钱的火车〃带着他们跑了4个月，他们的利润达到了600万美元。然后市场得到了消息。标准普尔合约的价格下降了，其他的交易人也开始使用计算机，这种价格的不规范消失了。
1981年，ATandT的分拆年，普林斯顿－新港的净资产回报率达到了22。63％。1982年，伴随着标准普尔期货交易，普林斯顿－新港的回报率达到21。80％。当1982财政年度结束的时候，索普和莱根已经可以很自豪地宣称，他们起初投资的1美元在13年的时间里已经变成了6。61美元。
当时的索普和莱根越来越坚定地相信，市场总是可以被最成功的投资合作伙伴关系所击败。确实，连续13年保持这样出色的业绩是十分罕见的。一些持怀疑态度的学院派人士和一些交易人认为这样的业绩属于浮士德式交易。也就是说，他们认为这种看上去成功的套利交易行为是高风险的，总会有巨大的损失，不过是早晚的问题。
普林斯顿－新港的一切似乎都在驳斥着这种观点。基金一年都没有下跌过，也不曾有在哪个季度下跌的记录。谈到使用凯利公式管理风险时，索普似乎非常符合〃第一个在历史上注定要得胜的那个人〃。
他们的合作关系是不同理念之间的婚姻。莱根生活在一片具有贵族气氛的225英亩的新泽西牧场上，养了很多马。在福布斯1986年对合伙公司的情况介绍中，也是由莱根提供的篇首语。〃从婴儿手中抢走糖果，〃莱根在一次交易中提到，就应该〃你把卡车倒到商店门前把糖果都装走〃。
莱根靠近那些〃充斥于华尔街网络的流言、信息和机会〃，索普解释说，〃总是会有很多一系列的流言在传播，你离信息链越远，这些信息的价值就越小。〃
索普比较善于自省，他总是用科学的态度去迎接工作中的挑战。他对自己的措辞非常谨慎，如同对待任何其他事物一样，非常低调。他认为基金的表现是〃缓慢地致富〃，仿佛担心过于自信会给自己带来厄运一样。直到1982年，他才辞去了自己在加利福尼亚大学欧文校区的全职工作。
在展示自己相当大财富方面，索普显得也非常低调，甚至让人觉得有些迟钝。在办公室里，他穿着普通像一位下了班的加利福尼亚教授，一身很随意的衬衫和凉鞋。终于到了他觉得是买大房子的时候了。他们选择在山边买了一幢带有10个卫生间的房子。这幢据说是新港地区最大的房子，可以鸟瞰从卡特琳娜岛到圣塔安娜山的全景。房子还配有一个庇护所，有16英寸厚的水泥墙和钢制大门。任何时候都不忘考虑所有胜算的索普计算出这个庇护所可以抵御1英里外爆炸的1兆吨的氢弹。
然而，无论是莱根还是索普都没有想到这一切结束得那么快，也没有想象过这一切会是以这样一种方式结束的。
幸福的标准
丹尼尔伯努利出生于18世纪一个竞争过度的天才家庭中。他的叔叔贾科伯，发现了大数定律。贾科伯教授自己的弟弟约翰数学，约翰和贾科伯一样聪明，而且和他的哥哥一样，他是个比较喜欢吹嘘的人。这对儿伯努利兄弟养成了一个很不好的习惯，就是对一个问题有竞争性地进行研究，并且在媒体中无情地攻击对方。
渐渐约翰的怨恨越积越深，最后甚至发泄到了他的儿子丹尼尔（1700…1782）身上。丹尼尔是一名数学家，也是一名物理学家。他曾出过一本很著名的书，对赌场的法罗牌游戏进行分析，发现了〃伯努利效应〃，后来被运用到了飞机翼的设计中。约翰对儿子的成功没有表现出任何的喜悦之情。1734年，父子俩共同分享了一项法国科学院奖。但是丹尼尔随即被父亲赶出了家门，他抱怨说，这个奖项应该是自己独得才对。1738年，丹尼尔又推出了一部重要的作品，流体力学。第二年，他的父亲出版了一本内容几乎完全相同的书，署了自己的名字，并且把时间改到了1732年。约翰用这个小把戏声称儿子剽窃了自己的作品。
当丹尼尔最终离开自己的父亲去遥远的圣彼得堡工作时，他一定觉得松了一口气。在那里，他为西化的俄罗斯法庭工作，并又写了一篇很有影响力的文章，使20 世纪的经济学家们最终接受了克劳德 申农和约翰凯利的思想。这篇文章提到了一个虚拟的赌注，是由另外一名伯努利家族的天才、丹尼尔的表兄尼古拉斯设计的。尼古拉斯是巴塞尔大学的法律学博士。这个赌注涉及到一个翻倍游戏，类似于凯利提到的智慧激励问答〃价值64000美元的问题〃。丹尼尔在1738年就描述了这个类似的问题。
第77节：第四章（2）
这个虚拟的赌注是这样的。彼得抛出了一个硬币，然后又继续这样的动作，直到当硬币着地时，其〃正面〃朝上。彼得答应如果第一次抛出硬币是正面朝上，则付给保罗1达卡，如果第二次还是正面朝上，就付给他两达卡；如果是第三次，则为4达卡；如果是第四次，则为8达卡；依此类推。每一次正面朝上，就需要将支付的达卡翻倍。设想一下如果我们想确定一下保罗的期望值。
平均来说，保罗应该能赢多少钱？想找到随机事件的数学期望值，你必须用其自身的值乘以它的可能性。第一次扔，正面朝上的可能性是1/2，这为保罗赢得了1达卡（相当于今天的40美元）。1达卡乘以1/2的可能性得到的期望值是1/2达卡。
这种推理只适用于第一次扔出来后硬币正面朝上的情况，还有很多其他的方式可以赢钱。假如第一次扔硬币，彼得输掉了，那么他会再扔。如果第二次投正面朝上，彼得就会赢得2达卡。赢得2特卡的可能性是1/4，因为包含了第一次扔反面朝上（1/2）和第二次扔反面朝上（1/2）的可能。2达卡乘以1/4的可能性得出的期望值是1/2达卡。
同样地，赢得4达卡的可能性为1/8，期望值是1/2达卡；赢得8达卡的可能性是1/16，赢得 16达卡的可能性是1/32……所有这些不同的场景最终得出的期望值都是1/2达卡。所以保罗最终期望所赢得的数目是以1/2达卡为一般项的无穷级数，即他赢得的财产是无穷的。
玩这个游戏会使你无限富有吗？不会。如果你不相信，你可以试着扔一枚硬币，看看你会赢多少。
对于任何一个想用数学原理来决定在现实世界如何操作的人来说，无限期望都是一个很严重的问题。它意味着为获得玩这个游戏的权利，无论投入多少资金都是值得的。如果赌场要收你100万美元来玩这个游戏，理性的客户应该马上冲过来加入，至少看上去是这样。如果，赌场要收一万亿美元，结果也是一样。
你可能会更愿意把赌注看作是一只股票的初次公开发行。当对一家新公司进行评估时，人们一定会考虑各种盈利的机会，以及不同的可能性。但无论如何，他们最终会根据自己的预测，拿出一个合理的价位来购买股票。伯努利的例子说明，在一些情况下，传统的推理会使人们发现有一些股票值得他们不惜一切代价去购买。
无论是尼古拉斯还是丹尼尔 伯努利都知道这是荒谬的。丹尼尔这样写道，
虽然标准计算显示保罗的期望值可以无穷大，但是，我们要承认任何足够理性的人都会很高兴地以20达卡的价格把这个机会卖掉。事实上，虽然人们认可这个计算方式的结果，保罗赢的机会无穷大，但是没有人会愿意出高价来购买。
丹尼尔用俄语发表了他的上述言论。这个虚拟的赌注被人们称作〃圣彼得堡赌注〃或〃圣彼得堡悖论〃。从此之后，不断开始有人关注这个问题。约翰 梅纳德凯恩斯在1921年发表的〃概率论〃提到圣彼得堡悖论是每一位20世纪经济学家的精神大厦的组成部分。在诺伊曼和摩根斯坦的〃游戏理论和经济行为〃一书以及在肯尼斯 阿罗、米尔顿 纲雷德曼和保罗 萨缪尔森的论文中，伯努利的赌注论都曾经被提及。
这个矛盾可以很容易被解决。我们要注意到，彼得必须要有足够多的财富才能最终拿到游戏的潜在奖金。没有人拥有无限的资产。因此，无穷级数的大部分条件是无法被满足的。赢得10005的奖金机会很小，小得都不值得你去计算。因为事实上没有人能够出得起这么高的奖金。
假定一家赌场出的奖金限额在10亿美元。那么赌注的价值会是多少？答案是：要少很多！假定开始的奖金是1美元，那么扔到31次正面朝上的奖金应该是 1073741824美元。所以比较理性的做法是，赌场在第30次投掷后就结束游戏，将10亿奖金颁给任何一位得到了30个正面向上的人。然而，事实上这个被删减了的游戏期望值只有15。93美元。
这样计算就合理多了。赌注不可能是无限的，只是几个美元而已。对于这个谜团的解释，即使是最顽固的现实主义者也不能提出什么异议。但是，哲学家、数学家，甚至是经济学家，都不肯接受这个解释。许多人认为，可以假定彼得有无限的财富。但是谁会相信，彼得愿意不惜任何代价去玩这么一个游戏呢？
第78节：第四章（3）
丹尼尔伯努利认为会有这样的人。他提出的另外一个解释，对未来的经济学思想影响很大。伯努利把钱和人们赋予钱的价值分开。对于亿万富翁来说，1000美元就像是零花钱一样；而对于一名乞丐，1000美元是一笔巨大的财富。所以获利（或损失）的价值取决于这个人本身的资产有多少。
你可能会想，这一点我早就知道了。是的，但是伯努利真正的贡献在于他创造出了一个词汇。在英文中，这个词被译作〃utility〃效用。这个词可以用来描述人们赋予钱的主观价值。伯努利声称，人们本能地会选择争取最大的效用，而不一定是最多数目的钱或是达卡。〃事物的价值一定要以它的价格为基础，〃伯努利写道，〃而不是由于其所带来的效用决定。事物的价格只取决于事物本身，对所有人来说都是一样。但是，效用，对于每一个人来说是不同的，取决于每一个人在不同情况下做的不同判断。〃
对于一个富人和一个穷人来说，1美元的价值差异有多大？唯一诚实的答案是：〃由具体情况决定。〃例如，伯努利勾勒了这样一种情况，一位入狱的富翁只需要2000达卡就可以获得自由。和暂时并不需要这笔钱的穷人相比，这个富人会赋予这2000达卡更高的价值。
当然，这是一种人为创造出来的困境。大多数的时间里，富人心目中2000达卡的价值要低于穷人心目中对这笔钱的价值认定。伯努利提出了拇指法则。〃……在非正常的情况下，〃他写道，〃任何财富的小幅度增长所带来的效用和之前拥有的财物数量成反比。〃
换句话说，如果你朋友的财富是你的两倍多，那么当他赢得了100美元的时候，他的喜悦可能只有你的一半。同时，当他拿到晚餐的账单时，他的心疼度也只有你的一半。
你可以画一张效用和财富的关系图。如果人们对财富的价值认定和他们的财富成正比，那么这张图画出来就应该是直线状的。根据伯努利的拇指法则，这应该是个曲线图。这说明了一个事实，要想使富人和穷人同样快乐，他们获利的资金应该是有差异的。下面的曲线图（已经包含了伯努利法则：获利价值与原有财产成反比）表现出了对数功能。因此，伯努利的拇指法则也被称为对数效用。
伯努利使用效用这个概念解决了圣彼得堡矛盾。假定保罗对所获利润的产生的成就感与他本身的财富成反比，那么他对赢来的两个达卡的价值认定并不一定是两次赢得一达卡的价值累加。你赢来的第二个达卡，就像你获得的第二个百万美金，绝不会像你第一次得到时那么欣喜万分。
这就意味着无限级数项需要向下调整从而将大额获利所产生的回报纳入考虑，尽管这个数值是在逐渐缩小。虽然这个序列是无限的，但是个比较令人满意的合并序列。你可以1/2 1/4 1/8 1/16…一直加下去，但永远不会得到1，即便这个序列是无限延伸的。伯努利的期望序列也通过这个方式进行了调整，也合并出了一个有限而又适当的数值。
在随后的几个世纪里，经济思想家们迷上了对数效用。英国的经济学家斯坦利杰文斯（1835…1882）声称对数不仅可以应用于财富，还可以应用于消费品。〃当任何商品的数量如人们�