在随后的几个世纪里，经济思想家们迷上了对数效用。英国的经济学家斯坦利杰文斯（1835…1882）声称对数不仅可以应用于财富，还可以应用于消费品。〃当任何商品的数量如人们消费的普通食品的数量增加时，最后一部分商品所带来的效用或收益在程度上是减少的。〃这也是为什么那些〃你可以把所有东西都吃掉〃的餐馆能够在行业中长盛不衰。莱昂纳多萨维奇在1954年称，对数曲线是〃每个人的效用函数原型〃，是一种合理近似，是计算大多数人在大部分时间里如何根据自己碰到的美元数额来评价其拥有的财富价值。
并不是每个人都同意这种观点。到萨维奇时代，对数效用已经呈现出古板陈旧的气象。认识到对数效用不能够满意地解释圣彼得堡悖论，这是对该理论的一次沉重打击。19世纪30年代，维也纳的数学家卡尔门格尔指出，圣彼得堡赌注稍作修改，就可以使伯努利解释不成立。简单地说就是增加赌注。连续地抛掷赌注为2、4、16、256达卡、……而不是1、2、 4、8达卡，你的奖金增加得如此快速以至于期望效用又是无限的了。
第79节：第四章（4）
门格尔的这一反例不是以美元或达卡而以效用单位（utiles）来计算赌注的奖金。效用单位是效用的假设单位。根据你投掷的次数，决定你将赢得1、2、 4、8……个效用单位。赌注的价值，用期望效用来衡量，是无限的。理性人大概会放弃已有的一切来玩这个游戏，这仍然有点荒唐，因为他有可能仅赢得极少的效用单位。
从这里我们应该得出什么推断？可能没多少。保罗 萨缪尔森相信，圣彼得堡悖论种类繁多的版本〃对经济学家而言，没有任何可怕之处〃。问题的关键在于伯努利的效用函数从心理角度来看是不现实的，尤其是处于极端富有的情况时。
更好的解决办法是〃幸福水平〃。这大概就是效用的上限。算一下你需要多少钱可以满足你所有物质需求或欲望，那些钱，或相应的效用，就是幸福水平。
效用上限的作用类似于赌场能够付出的美元上限，在合理且有限的价值处截断无穷级数。
对数效用函数没有幸福水平。图中的曲线向右上方变得平缓，但一直保持上升。我们举个例子，这意味着对具有对数效用的人来说，将现有财富再增加10倍，幸福感是一样的。将你的净财富从1万美元增加到10万美元，与从10万美元增加到100万美元，或从100万美元增加到1000万美元时，你获得的幸福感是一样的。
这听起来，也可能有道理也可能没道理。在这个10倍财富的事例中，有一点难以理解。拥有100亿美元而不是10亿美元，是不是更有优势？当然如果你只关心〃生活得好〃，则不会更有优势。拥有10万亿美元比拥有1万亿美元，会不会带来更大的荣耀？如果你只希望成为地球上最富有的人，你当然也不觉得这会带来更大的荣耀。
对数效用也不是一个好的贫穷模型。它暗示了从你最后的100万财富中损失90％与从你最后一角钱中损失90％，你感觉到的痛苦是一样的。这很荒谬。
1936年，经济学家约翰 伯尔威廉斯在《经济学季刊》上发表了一篇文章〃投机与结转〃，是关于棉花投机商的。他们在棉价较低时买入大量棉花，期望在一年或更长时间后高价卖出获利。投机商们〃赌〃第二年的棉花产量低，从而棉价会上涨。威廉斯注意到了此类活动中的机会因素。比如，没有人能够预测天气。他认为，成功的投机商一定有某种优势，他们一定知道一些市场不知道的东西。
在文章末尾的〃概率注解〃部分，威廉斯在他的计算中说道，〃如果一个投机商在每一次交易中，都习惯性地冒着资本外加利润（或损失）的风险，他就会选择所有价格的几何平均值而不是算术平均值，来作为可能价格分布中的代表价格。〃威廉斯并没有详细地说明这略显神秘的论断。这个论断与伯努利和凯利的想法密切相关。威廉斯是一位杰出的经济学家，因其股票可以通过红利估价的思想（现已不适用）而著名。但不管威廉斯多有名望，这个论断也没有得到多少关注，很快就被人们遗忘了。
自然的警告，远离赌博
1954年1月份，《计量经济学》的出版首次将伯努利1738年的那篇提及圣彼得堡赌注的文章译成了英文。当时几乎没有经济学家懂俄语，所以这篇文章的内容还不为人所知。最终的英文译本出版后，人们才发现，在很长的一段时间里他们都没有真正理解或者根本就低估了伯努利的成果。
这篇文章并不是完全讲述圣彼得堡赌注或者效用这个问题的，只是在里面作为附加部分提了一下。伯努利的论文认为风险投资应该由几何平均数的结果来衡量。
可能在学校的时候，你就知道有两种〃平均数〃。算术平均数是比较平淡的那一种，你把数字都累加起来，然后除以它们的总数，就会得到算术平均数。这类似棒球平均击球率或者平均成功率，如果你用EXCEL的电子制表软件计算，只要输入公式=AVERAGE（），你就会得到计算出的算术平均数。
不过大多数人们中学毕业以后，就都不再记得几何平均数了。几何平均数的计算方式是将一系列（n）的数字相乘，然后计算这个数字的n次方根。
第80节：第四章（5）
多数人都会尽量避免计算n次方根，所以几何平均数一般都是统计学家们在使用。当然，现在的社会，没有人会手工计算平均数。在EXCEL中，也有一个计算几何平均数的公式，=GEOMEAN（）。
平均数的意义是为了使生活简单化。我们很容易就记住拉米瑞兹3。49的棒球平均数，而不会记得他整个棒球生涯的每一个细节。对于一个球员浩如烟海的信息来说，一个棒球平均数对他的能力阐述得更清楚。
在棒球或是其他的事务中，算术平均数就足够用了，那么为什么我们还需要计算几何平均数呢？
伯努利从赌博开始谈起。如果用算术平均数来计算期望值，考虑两种出现概率相同的结果，〃公平的〃赌注，其最终得数应当为零。这里我们可以看一个所谓的公平赌注的例子。你把赌注都下到一个即将弹出的硬币上，和你旁边的人赌博，他下的赌注和你一样多。最终要么你得到两倍的赌资，要么你就会一无所有。赢家会得到输家的一切，房子、车、存款等等。
假定你现在有10万美元，当硬币投出之后，要么你会得到20万美元，要么你的钱就全都没有了。这是两种机会平等的可能性。算术平均数是（20万美元 0美元）/2，即10万美元。如果你认为这个赌注的公平价值是10万美元，那么你觉得这个赌注没什么意义。你现在已经有了10万美元，硬币投出后，你或许再拿到一个10万美元，或者损失10万美元。
但人们一般不会这样思考问题。你和你的对手如果同意下这种赌注，那你们简直是傻到家了。赢得两倍的资产和变得一无所有相比，变得一无所有会让你损失得太多。
我们再用几何平均数的方式来计算一下。你将两个同时存在的可能数值相乘÷20万美元×0美元然后计算平方根。因为零和任何数相乘其结果都为零，所以几何平均值得出的是零。如果你认定这是赌注的真正价值，那么你就不会舍得把你10万美元的净资产投在上面了。
几何平均值一般都会小于算术平均值（只有当所有的数值都相等，两个平均数才会相等）。这就说明，在评估风险问题时，几何平均数要更为保守一些。伯努利相信这种保守主义更符合人们对风险的排斥态度。
由于在风险投资中，几何平均数总是小于算术平均数，〃公平的〃赌注事实上是不受欢迎的。伯努利认为，这是〃自然的警告，让人们远离赌博〃。（伯努利认为人们从赌博当中不会得到任何乐趣。）
在伯努利看来，只有当优势偏向于某一个人的时候，这个赌注才是有意义的，或者说如果参赌的人财富实力不同的时候，赌注才有价值。通过这个理论，伯努利解决了一个华尔街的老问题。每次交易股票的时候，买方会认为自己是在交易中占上风的那一个，卖方也这么认为。这说明总有一方的判断是错误的。
伯努利对这个想法提出了质疑：〃给一个情况不太明了的企业进行投资，有些人这么做可行，但其他人这么做就不明智。〃虽然没有谈论股市，但是伯努利提到了一名〃圣彼得堡商人〃，这名商人必须从国外通过海上运输进货。这也是一种赌博行为，因为船只有沉没的风险。商人面临是否购买保险的选择，但是如果通过算术平均数计算，保险不是很理想的赌注。保险公司一直是通过保金来盈利的。
伯努利提出如果这名商人相对来说财富实力不强，他一般会通过购买保险（即便保金的价格过高）来提高自己的几何平均值。而与此同时，实力雄厚的保险公司因为卖掉了一份保单，也提高了自己的几何平均值。
伯努利认为理智的人会争取最大化的几何平均数，虽然他们自己可能并没有意识到这一点：〃因为我们所有的假设都会以我们的经验为依据，我们不能抛开经验，而仅仅是凭我们的猜测来行事。〃
伯努利定律和约翰 凯利1956年的出版作品有密切的联系，可以把凯利的解决方案看作是这个简单定律的重述：当我们面临下赌注或投资的选择时，应当选择那个几何平均数最高的。这项凯利标准定律，比计算赌博的〃优势/概率〃的凯利公式应用范围更为广泛。
第81节：第四章（6）
如果可能性并不是平等地存在，你需要根据其可能发生的概率来进行衡量。一个办法是将财富的期望对数值最大化。任何遵循这条规则的人都会按假定自己已经拥有了对数效用的方式来运作。
从年代的顺序来看，我们很自然地会质疑凯利是否读过伯努利的文章。这一点很难查证。凯利并没有提到伯努利，如果他了解伯努利的成果，应当是不会这么做的。作为一名通讯方面的科学家，凯利读过《计量经济学》的可能性也不大。
但是，伯努利的文章对亨利 拉坦内有着直接的影响。最终，是亨利 拉坦内，而不是凯利将伯努利的思想介绍给了经济学家。
亨利 拉坦内
亨利拉坦内参加工作的时候正赶上灰暗的1930年，但他运气很好，作为哈佛大学MBA的毕业生，他声称自己是经济萧条之前华尔街聘用的最后一名员工。从30年代到40年代，他一直从事金融分析师的工作。萨缪尔森认为像他这样的人应该有一份真正意义上的工作。从某种角度上来说，亨利拉坦内也确实是这样做的，他接受了萨缪尔森的建议。到了中年之后，拉坦内辞去了华尔街的工作，回到大学攻读博士学位，之后，他一直从事教育和理论方面的工作。
1951年，拉坦内在北卡罗来纳大学开始研究投资组合理论，并把这个理论作为自己在博士期间的研究方向。他阅读了伯努利文章的译文，觉得可以把这个理论运用到股票的产品组合中。随后，拉坦内遇到了列昂尼得萨维奇，他说服萨维奇相信几何平均数的理论对于长期投资者来说非常有意义。
1956年2月17日，拉坦内在著名的耶鲁大学考尔斯基金会学术研讨会上介绍了他的研究工作。当时的与会者中有哈里 马科维兹。
马科维兹是投资组合理论派的创始人，投资组合也被称作均值方差分析。马科维兹用数据说明多样化可以有效地化解风险，即购买不同的股票，而不是集中购买一种股票。
这种思路被大众广泛接受，所以大家很容易就忘记有一些聪明人还有另外的想法。1942年，约翰 梅纳德凯恩斯这样写道，天真地认为〃安全第一〃的投资策略是把资金分散开来押在许多不同的公司的股票上，而对这些公司缺少信息做出足够准确的判析，与对一个公司的情况了如指掌所获信息准确而进行投资相比，是荒唐可笑的。
凯恩斯一直很困惑，自己不知道比起其他人来，是否能更好地选择股票。既然萨缪尔森的拥护者已经把这个理念扔到了中世纪迷信的垃圾箱里，马科维兹的发现就有了特殊的借鉴意义。可能你是无法战胜市场的，但是你至少可以把风险最小化，这会使结果很不一样。例如，马科维兹用数据证实，买20到30只不同企业的股票，投资者可以把整个投资组合的风险降低一半。
马科维兹认为即便是完美的高效市场也不会磨蚀掉股票之间的差异。一些股票本身就比其他的股票具有更�
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