距二次差内插法、等差级数法和坐标变换法
三种。
我们先来概括一下等间距二次差内插
法的算式：
… Page 20…
t △
… Page 21…
朔到定朔的改正值 T（后用T示之）。式
⊙
中的t系指某节气初日与平朔时刻的间距，
t的含义同第二，T为某节气因太阳运动不
0
均匀导致的平朔的定朔的改正值，△ 和△
1 2
分别为某节气后相邻两节气的 T之差。T
0 0
（“迟速数”）、△和△ （“陟降率”）
1 2
也可由日躔表查得。
第四：欲求因月亮运动不均匀导致的平
朔到定朔的改正值 T（后用T 表示）。式
月
中的 t系指该日平朔时刻与最临近的一次
月亮过近地点时刻之差，t＝1日，T为同该
0
日月亮实行度与平行度之差相应的时刻
值，△ 和△ 分别为同该日后相邻两日 T
1 2 0
值有关的数值。T（“胱朒积”）、△和
0 1
△ （“加减”）都可由月离表中查得。
2
有了以上二术，则有
定朔时刻=平朔时刻＋T＋T
⊙ 月
这就是皇极历计算定朔的方法，是我国
古代最早同时虑及日、月运动不均匀对真正
合朔时刻影响的定朔法，在我国古代历法史
上占有很重要的地位。等间距二次差内插法
对于提高天文量计算的精度也起了良好的
作用。
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四、皇极历 （二）
皇极历还首创了等差级数的表述和计
算。如在应用O一方法。昼夜漏刻长度表计
算任一时日的昼夜漏刻长度（K）时，刘昼
夜漏刻长度表计算任一时日的昼夜漏刻长
度 （K）时，刘焯给出了二十四节气初日的
初数 （L），又给出相邻两节气间每日增或
减的等差数 （△），如“每日增大”、“每
日增少”等等。已知该日所入节气及入该节
后 的 日 数 （t ） 即 可 求 出
0
t0
t = 0。1，…，15）。由昼夜漏刻表查得该节气初日的夜半漏刻
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数与相应的赤道度数相减，即得该赤道度数
（或黄道度数）下的黄赤道差。
刘洪将张衡黄赤道差的计算法首次引
人到历法以后，沿用了几百年，到刘焯的皇
极历又有了新的算法。
张衡的黄赤道差的计算法以每经赤道
五度为一限，刘焯以四度为限，在这一点上
没有什么本质区别。但刘焯以为每一限黄赤
道差的数值是以等差级数变化的，如“每限
增一”、“每限损一”等等，这就比张衡以
每一限黄赤道差为一个常数有所改进。
刘焯黄赤道差计算法的误差为0。24°；
与张衡法的水平相当。
刘焯在坐标变换法方面更主要的贡献
是首创了黄白道差 （黄道度与白黄度之差）
计算法。对黄白道差计算法的描述方式与黄
赤道差计算法相同，误差为0。13°。这些新
算法也对以后产生了很大影响。
张子信曾经在一个海岛上，制作了一架
浑仪，专心致志地观测，研究日月交食的发
生时刻，发现了太阳运动的不均匀性、五星
运动的不均匀性和月亮视差对日食的影
响。
张子信的这三大发现，以及给出这三大
发现具体的、定量的描述方法；把我国古代
对于交食等天文现象的认识推进到一个新
的阶段，为一系列历法问题计算的突破性进
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展开拓了道路。
刘焯在吸取了张子信等前人的研究成
果，并经过自己的长期探索以后，创立了一
整套日月交食的推算法。
刘焯首先是创立了月亮入交定日（p）
和太阳入会定日 （q）的计算法：
交率
P = 入交平日及余±T⊙±交数×T月
交率
ｑ= 入会平日及余±T月±交数×T⊙
以这两个公式计算月亮、太阳与黄白交
点的时距 （p和q）时，既考虑了太阳、月
亮运动不均匀性的影响，又虑及了黄白交点
退行的影响。它的天文概念十分准确和清
晰。
其次，刘焯扩充了交食食限的概念和改
进了食分的计算法。
皇极历给出的月食食分 （g ）的算式
月
为
望差= ｛去交日分… ＇3K至 ＋ 2 （10＋ S）＋ 2K分＇｝
g 月 = 96
式中望差为朔望月长度与交点月长度
之差的一半。去交日分即上述P值。K 为
至
发生在春分（或秋分）前、后的望日所值节
气距夏至的节气数 （0－12）；K为发生在
分
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春分（或秋分）前的望日所值节气距春分（或
秋分）的节气数（0－6），如果望日在春分
（或秋分）后，K=0。s为去交日分所相当
分
的时辰
4205。5
数（0 －14）。因为望差
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96 ×15
… Page 27…
96 ×15
… Page 28…
96 ×15
… Page 29…
望差… 去交日分 M
g ⊙ = 望差 ×15
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五、皇极历 （三）
刘焯还发明了日月食初亏和复圆时刻
计算法。
算式是：初亏时刻=食甚时刻…H；复圆
时刻=食甚对刻＋H，日月食的全部见食时刻=
复圆时刻…初亏时刻=2H。而
（300
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亮视差。同理，太阳视、真位置的高度差叫
做太阳视差，但它要比月亮视差小得多，几
乎可以忽略不计。当合朔时，如果月亮位于
太阳之北时，由于月亮视差的影响，月亮的
视位置南移，使日、月视位置彼此接近；如
果月亮位于太阳之南，同理，将使日、月相
对视位置增大。这些就是张子信所发现的上
述现象的原因所在。所以，张子信的上述发
现实际上就是关于月亮视差对日食是否发
生所产生的影响的发现。
刘焯列出了9种日应食不食和7种日不
应食而食的判据，每一种判据又均与朔时月
亮去交度分，所值季节和距午正时刻三种要
素相关。
刘焯所列的16种判据都定性地与月亮
视差对日食影响的原理相符合，这是对张子
信当年发现的极重要的补充和发展。
刘焯还对交食亏起方位作了论述，分为
月亮在黄道南、黄道北两种情况，每一种情
况又分为交食发生在观测者的正南、正东、
正西、东南和西南前后等 7种不同的方向
时，亏食起始的方位、亏食的走向及亏食终
了的方位等内容。这是我国古代对交食亏起
方位所作的最详尽的描述。
刘焯的这一整套交食推算法的创立，标
志着我国古代的交食研究进入了一个崭新
的时代。与交食推算法具有同样划时代意义
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的发明，是他所创立的五星位置计算的新方
法。欲求任一时日 （A）五星的黄道宿度，
刘焯创立了以下步骤：
第一：求出历元到A的积日数，减去五
星伏日数的一半，其差数以五星会合周期除
之，所得余数 （B）是为A与最临近的一次
五星晨始见东方时刻（平凡日）间的时距。
由于五星会合周期实际上是相当数量的实
测五星会合时间的平均值，所以由它算得的
平见日（A…B）可以认为是以五星和太阳均
作匀速运动为基础求得的。又以积日数除以
回归年长度，所得余数（C）则为所求年冬
至夜半与A的时距，由此也可以知道A值的
节气。
第二：求五星运动不均匀引起的改正
值。在皇极历中给出了因所处节气不同，五
星平见日或者是超前，或者是滞后的时间改
正表。以C为引数，依照一次差内插法则可
由这些表格算得相应的改正值（t）。
0
刘焯称A…B±t为常见日。
0
刘焯对金、水运动不均匀性改正的描述
只是定性的；而对于木、火、土三星的近日
点、远日点黄经测算和三星运动不均匀性改
正的误差见表1
从表1可知，这三项误差的精度还是比
较低的。
第三：求太阳运动不均匀引起的改正
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值。由日躔表依等间距二次差内插法求算
之，以C±t为引数，它相当于计算平朔到
0
定朔的改正 （T）值中的“平朔时刻”值。
⊙
刘焯称A…B±t±T为定见日 （E）。
0 ⊙
第四：求定见日五星所在黄道宿度
（R）。
皇极历以历元年冬至夜半时太阳位于
黄道虚宿一度，由此后推积年（自历元到所
求年的年数）乘以黄道岁差度，可得所求年
冬至夜半时太阳所在黄道宿度 （R）。又以
0
C±t±T为引数，它相当于计算太阳实行
0 ⊙
度与平行度之差（T）值中的“所求时日”
*
值。则定见日太阳所在黄道宿度为：R＋C±
0
t±T±T。又已知五星定见日与太阳的度
0 ⊙ *
距 （F）分别为木星14度，火星16度，土
星16。5度，金星11度和28水星17度，于
是R=R＋C±t±T±T±F
0 0 ⊙ * 0
第五：求所求时五星所在黄道宿度
（I）。以A…E为引数，可由五星动态表求
得定见日到A的五星行度值（V），于是
t=R＋V
0
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在皇极历以前各历法的五星动态表，均
由五星晨见始，依次列出前顺、留、逆、留、
后顺、伏等动态所经的日数和所行的度数，
它们均与这些动态所值的节气无关。
皇极历的木、土二星动态表与以前的动
态表相仿，而对火、金和水三星的动态表则
作了重大的改进，对于前顺和后顺两个动态
时段，均依照它们所值的节气不同，给出了
不同的运动�
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