世界古代中期科技史- 第21部分

　　　　测时记下杆影顶点在A处，塔影顶点在a处；第二次观测时记下杆影顶　

　　　　　点在B处，塔影顶点在b处。　　AB与ab的比就等于杆高和塔高的比，从　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①　

　　　　　而求出金字塔的高度　。总而言之，泰勒斯的成就超过了他的老师们。　

　　　　　　　　　埃及人的几何学知识还只是停留在经验的层次上，到泰勒斯，几何　

　　　　　学开始建立在一般原理的演绎基础上，后人把几条最早的几何定理归于　

　　　　泰勒斯的发现，这成为他在几何学上的主要贡献。这几条定理是：　

　　　　　　　　　①圆的直径平分圆周；　

　　　　　　　　　②内接于半圆的角是直角；　

　　　　　　　　　③等腰三角形的两个底角相等；　

　　　　　　　　　④两条直线相交时，对顶角相等；　

　　　　　　　　　⑤两个三角形有一边及这边上的两个角对应相等，则这两个三角形　

　　　　　全等。　

　　　　　　　　　据载，泰勒斯曾应用两个三角形全等的定理，测定船舶离岸的远近。　

　　　　他的求法是这样的：见图6。4，A是岸上一点，船在A的正前方P点。在　

　　　　　岸上作AP的垂线AB，找出AB的中点C。测量者沿垂直于AB的方向走，　

　　　　直到在K点观测使K、C、P三点在一条直线上。可以知道三角形APC与　

　　　　　三角形BKC全等，从而AP等于BK；BK可以直接测量出，那么从岸上一　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②　

　　　　　点A到船的距离就可以得到　。　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6。4泰勒斯测定船离岸的距离　

　　　　　　　　　　至于泰勒斯是否对上述定理作过证明，现在还没有发现这方面的资　

　　　　料。这些定理很可能是在大量观察的基础上，经过反复实践证明，成为　

　　　　大家公认的事实。泰勒斯只不过予以抽象和总结。　



①　参阅梁宗巨《世界数学史简编》，辽宁人民出版社1981　年版，第96　页。　

②　参阅中外数学简史编写组《外国数学简史》，山东教育出版社1987　年版，第91　页。　


…　Page　71…

　　　　　（2）毕达哥拉斯学派的数学研究　

　　　　　毕达哥拉斯学派认为宇宙的本原是数，可见他们对数的重视。在对　

宇宙结构的研究中，他们还发现了其中的一些数学关系，这对他们试图　

建立一种以数解释宇宙现象的哲学，无疑是一种鼓舞。因此，毕达哥拉　

斯学派使数学的研究发生了重大的变化。在巴比伦和埃及，对数学的研　

究基本上还是处于经验的阶段。而从毕达哥拉斯开始，产生了数的抽象　

概念，进而由研究个别的抽象的数过渡到研究它们的一般规律。这种与　

自然运算的一般性质有关的研究被称为算术的一个分支——理论算术。　

　　　　　毕达哥拉斯学派最早大概是用沙粒或石子来计算的，因为他们常把　

数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并且按照它们所能排列而成的形状进　

行了数的分类。如图6。5，1、3、6、10，这些数　叫三角形数，因为相　

应的点　　　　　　可以排列成正三角形；1、49、16，这些数叫做正方形　数，　

因为相应的点能排成正方形。这样，他们就把数和　图6。5三角形数与　

正方形数形联系起来了，而且使得数的一些性质变得比较明显。比如，　

如图6。6中划了一条斜线后，就可以得出：两个相继的三角形数之和是　

正方形数；再如从图6。6中所　图6。6三角形数与正方形数的关系示的　

方法可以从一个正方形数得出另一个正方形数。毕达哥拉斯还得到了五　

边形数、六边形数和其它多边形数。　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6。5三角形数与正方形数　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6。6三角形数与正方形数的关系　

　　　　　毕达哥拉斯学派通过数与数之间的某种关系，对数进行了分类。如　

果一个数等于它的所有因数　（能除尽该数的数，包括1而不包括该数本　

身）的和，他们称这个数为完全数。6就是一个完全数，6=1＋2＋3，还　

有28，496等也是完全数。如果一个数大于其因数之和的叫盈数，小于　

其因数之和的叫亏数；如果有两个数，一个数是另一个数的因数和，则　

这二个数称为亲和数　（如284与220）。　

　　　　　毕达哥拉斯学派还搞了一个法则，用这个法则可以求出直角三角形　

三边的三元数组。用现代的记法，可以将这一法则表述为：若m是奇数，　

　　　　　　　　　　　2？　　　　　　　　　　　　　　2　

则m、（m　1）/2及　（m＋1）/2就是这种三元数组。如今人们把形成　

直角三角形三条边的三个整数所构成的数组统称为毕达哥拉斯三元数　

组。　

　　　　　毕达哥拉斯所说的数指的是整数，而实际上直角三角形边长之比却　

不能总用整数表达，也就是存在着不可公度比。毕达哥拉斯学派把那些　

能用整数表达的比称为公度比，含义是对相比较的两个量可以用公共度　

量单位量尽；而把那些用公共度量单位量不尽的量之比称为不可公度　

比。正是这个“不可公度”问题，使得毕达哥拉斯学派未能在理论算术　

这一分支取得更进一步的成果，而把注意力转向了几何学。　

　　　　　毕达哥拉斯学派遇到的“不可公度”问题，实际上就是发现了　2　

是一个不能用整数或分数来表达的数。用现代数学的语言讲，就是　2　是　

不能用十进有限小数来表达的数。2　不可公度问题的来源可能有三个因　

素：①在几何中，求正方形对角线与边的公共度量；②在算术中，某一　


…　Page　72…

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　　　　　2　

数的平方为另一数平方的2倍，即X＝2a，求X，则X＝　2　a；③在音　

乐理论中，将八度音对半地分开时，归结为求1和2之间的几何平均数。　

毕达哥拉斯可能主要是由于发现等腰直角三角形斜边与一直角边之比或　

正方形对角线与其一边之比，不能用整数表达而发现不可公度问题的。　

因为，“直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方之和”，在西方　

就称为毕达哥拉斯定理。关于这个定理，中国人、巴比伦人、埃及人和　

印度人早已知道这个定理的部分情况。而一般认为是古希腊人予以证明　

了的，是毕达哥拉斯学派用比例和相似三角形的理论证明的。传说，毕　

达哥拉斯在证明出这个定理以后，心情特别激动，宰了一百头牲畜来祭　

缪斯女神　（神话中掌管文艺、科学的女神），进行庆祝。然而，不可公　

度问题使毕达哥拉斯学派感到十分震惊。明明是一个固定的量，却不能　

用整数或整数之比来表示。这使他们企图用数来表示宇宙万物的想法受　

到了挫折。传说，毕达哥拉斯学派不仅对这个发现严格保密，而且揭露　

了不可公度事实的那个毕达哥拉斯学派的门徒，竟然在一次航海中被其　

他门徒扔进了大海。这个传说反映了，不可公度量在毕达哥拉斯学派内　

部引起了极大的思想混乱与恐慌。　2　是一个实际存在的量，它虽然不能　

用整数或分数来表达，却可以用几何方法做出来，两个直角边为1的直　

角三角形的斜边的长度就是　2　。这样一个情况，使毕达哥拉斯学派在数　

量研究的方向上发生了很大的转折。从此，毕达哥拉斯学派回避用算术　

和代数方法来解决实际问题，而是尽可能地用几何方法来解决实际问　

题。　

　　　　　在几何学方面，毕达哥拉斯学派还发现平面可以用等边三角形、正　

方形和正六边形填满，空间可以用立方体来填满；三角形内角之和等于　

180°等。他们曾用正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体来表示　

火、土、气、水这四大元素；后来又发现了正十二面体，于是用来表示　

宇宙全体。据说，有关三角形、平行线、多边形、圆、球和正多面体方　

面的一些定理，也是毕达哥拉斯学派发现和证明的。但是，目前还没有　

找到这方面的原始资料。　



　　　　　（3）芝诺悖论与极限思想　

　　　　　芝诺（约公元前496～前430）是古希腊爱利亚学派奠基人巴门尼德　

的学生，是爱利亚学派的主要活动人物。在哲学史上，芝诺提出的关于　

运动的4个悖论是占有重要地位的。芝诺悖论的提出，是为了论证运动　

的不存在。但是，这4个悖论中却也蕴含着丰富的数学思想。　

　　　　　根据亚里士多德的记载，这4个悖论是：　

　　　　　①二分法。一个运动的物体在到达目的地之前必须先到全路程的一　

半。进一步分析，要走完全路程的一半，则必须先到这一半的一半，即　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　

全路程的1/　4；依此类推，要先走过1/　8、1/　16、……　。这样　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n　



分下去，是无穷无尽的。芝诺的结论是物体不可能在有限的时间里走完　

无限个一半而到达终点，他是以此否认运动的。　

　　　　　②阿喀琉斯。阿喀琉斯是全希腊跑得最快的人，但芝诺却说阿喀琉　

斯迫不上乌龟。虽然，阿喀琉斯跑得快，乌龟跑得慢，但是乌龟在前面，　

阿喀琉斯在赶上乌龟之前，必须先到达乌龟的出发点，可这时乌龟又爬　


…　Page　73…

　　　　　过了一段路程。以此类推，乌龟总可以在阿喀琉斯前面一段。芝诺论证　

　　　　　了最快的不可能赶上最慢的，以此来否认运动。　

　　　　　　　　　　③飞矢不动。时间是瞬间的总和，而飞矢在每个瞬间都静止在一个　

　　　　位置上。因此飞矢不动。芝诺以飞矢不动这一矛盾的说法，来否认运动　

　　　　　的存在。　

　　　　　　　　　　④运动场。芝诺用运动场上两排数目相同、大小相等的物体，各以　

　　　　　相同速度按相反方向相互通过来论证这样一个结论：一段时间和它的一　

　　　　　半相等。如图6。7，先是A、B、C首尾对齐，经过t时间后，B向左移动　

　　　　　一位，而C向有移动一位，这都是相对于A所言。拿C和B比，C移动了　

　　　　　两位，要使C移动一位，只要t的一半时间就够了　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6。7运动场C　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①　

　　　　　　　　　　按照梁宗巨先生的观点　，芝诺进一步则可导出极限的思想。可惜的　

　　　　　是，芝诺悖论中的数学思想因其哲学观点的错误而未能得到发展。不过，　

　　　　　芝诺悖论产生的影响仍是深远的，哲学家、逻辑学家和数学家都从各自　

　　　　　的学科出发去进行分析。因此，芝诺悖论对这些学科的发展起了促进作　

　　　　　用。在当时，则至少可以说，芝诺悖论是把连续与离散的关系问题突出　

　　　　　出来了。　



　　　　　　　　　　（4）雅典智者学派与三大作图难题　

　　　　　　　　　　雅典的智者学派，也称为诡辩学派。在雅典成为希腊各城邦的经济　

　　　　　中心和文化中心以后，不同学派、不同地域的学者，被吸引到雅典来了，　

　　　　　智者学派里就包括有多方面的学者。他们数学研究的中心问题是所谓“三　

　　　　　大问题”：做一立方体，使其体积等于给定立方体体积的二倍；三等分　

　　　　任意角；做一正方形，使其面积等于给定圆的面积。这“三大问题”，　

　　　　　由于不能用直尺和圆规做出，也被称为“几何三大难题”。　

　　　　　　　　　　第一个难题简称为“倍立方”问题。关于这一难题研究的起因曾有　

　　　　　一个传说：第罗斯地方发生了瘟疫，人们求教于巫神，巫神回答说，应　

　　　　　当把现有的立方体祭坛加倍。人们试图通过把立方体的棱长加倍来得到　

　　　　　新的祭坛，但没有成功。据说，还曾请教过柏拉图，柏拉图则告诉人们，　

　　　　　巫神本意并不在于要加倍的祭坛，而只是借此教训人们不重视数学、对　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①　

　　　　　几何不够尊崇　。联想到柏拉图学园入口处挂着“非几何学家不得入内”　

　　　　　的牌子，似乎不是巫神而是柏拉图在教训人们。当时希腊人已经知道以　

　　　　　正方形的对角线为边作正方形，这个正方形的面积是原正方形面积的两　

　　　　倍。怎样得到两倍于原立方体体积的新立方体，自然会成为人们很想知　

　　　　　道的问题。显然，