世界古代中期科技史- 第22部分

　　　　倍。怎样得到两倍于原立方体体积的新立方体，自然会成为人们很想知　

　　　　　道的问题。显然，　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　

　　　　　如果原立方体的棱长为a，那么新立方体的棱长应为　2a，这样　

　　　　　新立方体的体积才是原立方体体积的两倍。但是，在只限于用没有刻度　

　　　　　的直尺和圆规的情况下，是没有办法作出这一立方体的，这是名符其实　

　　　　　的一个难题。　

　　　　　　　　　　第二个难题的产生与第一个难题有类似的情况，当时人们已能对任　

　　　　　意角二等分，自然要进一步想知道怎样才能三等分任意角。对此，智者　



①　参阅梁宗巨《世界数学史简编》，第105　页。　

①　参阅克莱因《古今数学思想》第一册，上海科学技术出版社1979　年版。　


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学派的主要代表人物喜庇亚斯创设了一种“割圆曲线”，试图解决三等　

分任意角问题。他的思路大致如下：在矩形ABCD中，　　BC边匀速地平行　

下降与AD边重合；同时，　　AB边匀速地绕A沿顺时针方向旋转，与AD　

边重合。如图6。8那么，下降的BC边与旋转的AB边交点的轨迹就是割　

圆曲线。这条曲线上每一个点的纵坐标与相应的夹角成正比，　

　　　　y　　　　　
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　　　　学的严谨性，在他的学园教学中坚持准确的定义和演绎的证明。毕达哥　

　　　　拉斯学派对点的定义是：点是有位置的单位，柏拉图认为毕达哥拉斯学　

　　　　派对点的定义不够明确，而另立定义：点是直线的开端。柏拉图关心推　

　　　　理过程的方法论，有两类推理方法被认为是他的学派的贡献。第一类是　

　　　　分析方法，用这种方法时，先假定要证明的结果是对的，然后由此推出　

　　　　一些结论，直至推出已知的真理或与已知真理相矛盾的结论。如果由待　

　　　　证命题推出已知真理，那么只要把推理的步骤倒过来，就可以做出证明；　

　　　　如果由待证命题推出与已知真理相矛盾的结果，就证明待证命题是错　

　　　　的。第二类是归谬法，用这种方法时，也是先假定要证明的结果是对的，　

　　　　只不过由此能够得出与要证明的结果相矛盾的结论，这就证明待证结果　

　　　　是谬误的。柏拉图认为数学采用分析推理方法是十分自然的事，他说：　

　　　　　“研究几何和算术之类学问的人，首先要在这一学科里认定奇数和偶　

　　　　数、各类图形、三类角以及诸如此类的东西，把它们当成大家都承认的　

　　　　公设，认为不必再为自己和别人作出什么说明，谁都明白。然后他们由　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①　

　　　　此出发，通过一系列的逻辑推论，最后达到他们所要证明的结论。”至　

　　　　少可以说，柏拉图学派使数学，特别是几何学具有了明确的思维方式。　

　　　　从这个意义上说，柏拉图学派为古希腊最负盛名的欧几里德几何学奠定　

　　　　了基础。　

　　　　　　　　　柏拉图学派的欧多克斯是成果颇丰的数学家，他的一个重要贡献是　

　　　　建立一个纯粹几何性的比例理论。欧多克斯引入“量”的概念，用来表　

　　　　示可以连续变化的线段、角、面积、体积等。量与数是不同的，数是跳　

　　　　跃的，如从1到2到3等等；而量则是连续变化的，欧多克斯引入的量　

　　　　是不指定数值的。然后，他定义了两个量的比，相等的比彼此是成比例　

　　　　关系的，这样，就把可公度比与不可公度比都包括在内了。欧多克斯对　

　　　　线段的长度、角的大小以及其它的量和量之比，都不给出数值，就是为　

　　　　了避免出现无理数　（不可公度比）。这对几何学的发展起到了积极的推　

　　　　动作用，例如泰勒斯提出的相似三角形的对应边成比例的命题，就是在　

　　　　欧多克斯的比例理论建立以后才被证明的。但是，欧多克斯的比例理论　

　　　　实际上是硬性将数与几何分开，虽然是通过建立比例理论使几何学能够　

　　　　处理不可公度问题了，却避开了代数和无理数，从而造成希腊人在运算　

　　　　能力上的不足，与几何学的高度发展形成鲜明的对照。　

　　　　　　　　　欧多克斯的另一重要贡献是对穷竭法的发展。穷竭法通常是以欧多　

　　　　克斯命名的，因为后人认为欧多克斯尽管不是提出穷竭法思想的第一　

　　　　人，但穷竭法确是在他那里得到补充、完善、发展和推广的。欧几里德　

　　　　　《几何原本》第十篇的第一个命题就是作为穷竭法基础的重要引理，这　

　　　　个引理的意思是：如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分，再　

　　　　从余下的部分中减去不小于这个余量一半的部分，等等，到最后将留下　

　　　　一个小于任何给定的同类量的部分。这个引理被认为是欧多克斯曾经证　

　　　　明而由欧几里德在《几何原本》中表述出来的。在此基础上，欧多克斯　

　　　　用穷竭法证明了两圆面积之比等于其半径平方之比，两球体积之比等于　

　　　　其半径立方之比，棱锥体积是同底同高棱柱体积的1/3，圆锥体积是同底　

　　　　同高圆柱体积的1/3等。　



①　柏拉图：《国家》，引自《西方哲学原著选读》上卷，第92　页。　


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　　　　　　　　　　（6）欧几里得与　《几何原本》　

　　　　　　　　　欧几里得（约公元前330～前275）是亚历山大前期的第一个大数学　

　　　　家。亚历山大前期是指从公元前4世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗　

　　　　马成为地中海区域的统治者为止，这一时期，希腊数学发展达到了鼎盛　

　　　　时期。欧几里得生于雅典，曾就学于柏拉图学派。大约在公元前300年　

　　　　左右，在托勒密一世王的邀请下，欧几里得来到亚历山大城传授数学。　

　　　　在此，欧几里得完成了他的代表作，也是希腊数学的百科全书——　《几　

　　　　何原本》。古希腊几何学从泰勒斯开始，经毕达哥拉斯学派到柏拉图学　

　　　　派，发展为建立在定义和公理基础上演绎而成的一套严密体系。欧几里　

　　　　得的　《几何原本》是集大成之作，充分地体现了古希腊几何学的发展结　

　　　　果，成为标志古代希腊几何学形成完整体系的里程碑。欧几里得不仅在　

　　　　选择公理和编排定理次序上下了一番功夫，而且他还增补了一些定理，　

　　　　给出了一些证明；特别是体系的严谨与论证的严密更使后人赞叹不已。　

　　　　　《几何原本》的论述结构是以少量原始概念和不需证明的几何学命题作　

　　　　为定义、公理与公设，由此出发通过逻辑推理证明一系列的几何定理，　

　　　　形成一个由简至繁的体系。这种公理化方法，至今仍是构造科学理论体　

　　　　系的重要方法。　

　　　　　　　　　　《几何原本》的内容共计有13篇，有的版本列出15篇，其中第14　

　　　　篇和第15篇非欧几里德所作，而是后人补上去的。　

　　　　　　　　　第1篇首先给出了23个定义，涉及到点、线、面、圆和平行线等一　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①　

　　　　批原始概念；然后提出了5个公设和5个公理　：　

　　　　　　　　　公设　　1。从任一点到任一点作直线　（是可能的）。　

　　2。把有限直线不断循直线延长　（是可能的）。　

　　3。以任一点为中心和任一距离（为半径）作一圆（是可能的）。　

　　4。所有直角彼此相等。　

　　5。若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直　

　　　　线无限延长后必相交于该侧的一点。　

　　　　　　　　　公理1。跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。　

　　　　　　　　　　　　　　　2。等量加等量，总量仍相等。　

　　　　　　　　　　　　　　　3。等量减等量，余量仍相等。　

　　　　　　　　　　　　　　4。彼此重合的东西是相等的。　

　　　　　　　　　　　　　　　5。整体大于部分。　

　　　　欧几里得同意亚里士多德的观点，即认为公理是适用于一切科学的真　

　　　　理，而公设则只适用于几何学。其中第5公设是欧几里得的杰作，他可　

　　　　能认为为了避免出现无限远空间的问题，这一公设是必要的。但是，这　

　　　　个公设由于不如前4个公设那么一望而知，人们不容易一下子接受，甚　

　　　　至有人认为欧几里得之所以把它作为公设，是因为他无法证明它。这成　

　　　　为《几何原本》的一个“污点”，为洗刷这一污点，在欧几里得提出这　

　　　　一公设之后，不断引起人们用其它公理和公设予以证明的努力以及对它　

　　　　的种种怀疑。在此后的两千年间，对它证明的努力终于失败，而对它的　

　　　　怀疑则产生了非欧几何。1826年，俄罗斯数学家罗巴契夫斯基　（1792～　



①　克莱因：《古今数学思想》第一册，第69　页。　


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　　　　　1856）宣读了他的关于非欧几何的论文《简要叙述平行线定理的一个严　

　　　　格证明》，这标志着几何学的新革命。非欧几何的发展不仅为相对论的　

　　　　产生准备了条件，更为重要的是它所引入的新思想，从根本上更新了古　

　　　　老的几何观念。这一结果是欧几里得无法预料的。　

　　　　　　　　　第1编在公设和公理之后，还给出了48个命题。这48个命题的内　

　　　　容可以分为3类，第一类是从命题1到命题26，主要讨论了三角形和垂　

　　　　直（垂线）问题，包括三角形的三个全等定理；第二类是从命题27到命　

　　　　题32，主要讨论了平行线问题，并证明了三角形的三个内角之和等于两　

　　　　个直角；第三类是从命题33到命题48，主要讨论了平行边四形、三角形　

　　　　和正方形，特别注意面积问题，最后的两个命题分别证明了毕达哥拉斯　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①　

　　　　定理及其逆定理。关于毕达哥拉斯定理的证明是通过面积做出的　，如图　

　　　　6。10，先证出△ABD△FBC，矩形BL＝2△ABD，正方形GB＝2△FBC，于　

　　　　是得到：矩形BL＝正方形GB，同样有矩形CL＝正方形AK。所以，正方　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　　　　2　　　　　2　

　　　　形BE=正方形GB＋正方形AK，即BC＝AB＋AC。　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6。10毕达哥拉斯定理的证明　

　　　　　　　　　第2篇有14个命题，主要讨论了面积的变换和几何代数法，特别是　

　　　　几何代数法，反映了希腊数学发展的特点。从毕达哥拉斯学派开始，希　

　　　　腊人不承认存在无理数，所以他们用线段来代替数，处理长度、角度、　

　　　　面积和体积。这样，两数的乘积为两边长等于两数的矩形的面积；三数　

　　　　　的乘积为棱长、宽和高分别等于三数的长方体体积；两数相加减则用把　

　　　　一线段延长或对一线段截割来表示；两数相除则为两线段之比。　

　　　　　　　　　第3篇有37个命题，这些命题全部与圆有关。它首先给出了与圆有　

　　　　关的一些定义，然后讨论了弦、切线、割线、圆心角及圆周角等问题。　

　　　　　　　　　第4篇有16个命题，主要讨论了圆内接和圆外切图形。在圆内接正　

　　　　多边形中，除了正方形、正五边形和正六边形之外，最后的命题还指出　

　　　　　了正十五边形的建立。据说，圆内接正十五边形产生于天文学。　

　　　　　　　　　第5篇先给出了18个定义，涉及几个量之比的相互关系；然后用25　

　　　　个定理证明了比例的一些基本性质。这一篇被认为是对欧多克斯的比例　

　　　　理论的阐述。　

　　　　　　　　　第6篇有33个命题，主要是利用第5篇的比例理论讨论了相似形问　

　　　　题。　

　　　　　　　　　第7篇至第9篇共有102个命题，主要讨论了数论，即整数和整数　

　　　　之比的性质问题。《几何原本》中只有这3篇讨论了算术问题，不过，　

　　　　关于比例的定义和定理，有很多是重复了第5篇的内容。那么为什么欧　

　　　　几里德仍然要把数论列为独立的篇章呢？有两种看法，推测了欧几里得　

　　　　　　　　　　　　　　①　

　　　　　的出发点　：一种看法认为欧几里得认为在他前几篇中所用的量的概念中　

　　　　并不包括