谈话》（1638）中，引入了近代力学的基本概念，提出了众所周知的关于从静止开始的匀加速运动（自由落体）的距离公式S＝1/2at2，并给出了相应的证明及类似于奥雷斯密思想的几何图形。
由于牛顿和莱布尼茨，动力系统理论被加入了新内容。微积分允许人们把瞬时速度计算为速度函数的导数，并可以图示为相应曲线的切矢量（图2．4a）。速度矢量场已经成为动力系统理论中的一个基本概念（图2．4b）。用微积分的微分程序通过轨迹决定速度矢量。与此相反，微积分的积分方式使人们可以通过速度矢量决定轨迹。
动力系统的建模策略首先是选择一个态空间，观测结果可以用几个参量来代表。连续的观测得出了此态空间的许多轨迹。在牛顿和莱布尼茨的微积分的意义上，速度矢量可以在这些曲线上的任意点导出，并描述它们在该点的固有动力学趋势。对于态空间任意点的速度矢量的描述，就定义了一个速度矢量场。充满着轨迹的态空间称作该动力系统的“相图”（图2．4c ）。这个动力系统的基本概念最初是亨利·彭加勒引人的。速度矢量场通过微分方法从相图推导出来。
当然，速度矢量场形象地表示了被建模的系统的动力学。实际上，进行长时间的广泛的观测，对于揭示系统——由相应的速度矢量场代表——的动力学趋势是必要的。此建模程序是恰当的，如果我们假定了：（a）一个观测轨迹的速度矢量在任意一点都精确地等于由该动力系统说明的矢量，（b）模型的矢量场是平滑的；“平滑”一词指的是直觉地认为在此不存在跳跃、不存在尖锐的拐角。在一维态空间的情形，矢量场由平面上的图像来说明。因此，如果此图像连续，其导数也连续，此图像就是平滑的。历史上，条件（b）相当于莱布尼茨著名的连续性原理，它在经典物理学框架中处于某种支配性地位。
一般地说，我们把建模程序概括如下：一个动力模型，它总是针对某一实验提出来的。我们可以设想一下如伽利略和牛顿使用过的实验室物理装置，或者生物学家对某些有机体进行的观察，或者甚至社会学家对某些社会群体的考察。动力学模型由态空间和矢量场构成。态空间是该实验情形的几何空间（例如，欧几里得平面或一般地某个拓扑流形）。矢量场代表了状态变化的习惯趋势，被称作该模型的动力学。我们如何才能找出轨迹从而找出系统的行为呢？从技术上看，这个问题是由获得该系统的相图来解决的。这意味着，我们必须要构造出该动力系统的轨迹。给定一个态空间和一个（“平滑”）矢量场，如果在切矢量的意义上，其速度矢量与矢量场的一致，在态空间的一条曲线就是该动力系统的一条轨迹［图2．5］。相应于零时刻的点叫做轨迹的起始态。这些轨迹被认为是，描述了系统的在一定时间间隔中的观测行为。而且，物理学家曾经雄心勃勃地力图实现对于无限长时间未来的预测，并计算出大自然的途径，就像大自然是一架大钟一样。
让我们扼要看一看牛顿的宇宙。它表现为通过使用牛顿、莱布尼茨和欧拉等人的数学工具，对动力系统理论的成功应用。牛顿用3个定律支配着实物物体的行为。第一定律（“惯性定律”）说，一个物体将保持匀速的直线运动，如果没有外力作用于它。如果的确有外力作用于它，那么其质量乘以其加速度就等于该外力（第二定律）。再加上第三定律就完成了基本框架：对于每一个作用总是有一个相反的大小相等的反作用。牛顿的宇宙由微粒构成，在空间作圆周运动，它服从欧几里得几何定律。这些微粒的加速度由作用于其上的力所决定。作用于每一微粒的力，是所有其他微粒的力的矢量和。如果此种力是一种引力，那么它在两个物体之间的吸引作用的强度，与两个质量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。当然，在此还可能有其他类型的力。
实际上，牛顿的第二定律被理解为宏观宇宙和微观宇宙的所有自然力的一般图式。借助特定的力的定律，牛顿图式就翻译成精确的系统动力方程系统。如果已知种种微粒某一时刻的位置。速度和质量，那么它们以后所有的位置和速度都在数学上确定了。简言之，牛顿宇宙中的一个物体的状态，由位置和速度两个参量加以规定。牛顿轨迹由运动的动力方程来确定。如果起始状态已知，那么牛顿宇宙的行为看来就是完全确定的。这种形式的确定论对18世纪和19世纪的哲学有巨大的影响。牛顿的动力学被理解为大自然建立模型的基础科学。但是，这种力学模型当然只有在忽略摩擦的有限情形下才是有效的，它们从来没有在实验上完全实现过。大自然是如此的复杂，以致物理学家宁可观测非自然的（“人工的”）有条件限制的情形。在后面，我们将看见，物理学家对简单规律的信奉，完全忽略了起始条件和约束条件的复杂性，因而造成了确定论的、可以彻底计算的幻想模型。
按照牛顿的观点，在一种绝对空间－时间框架中只有一个真实的物质世界，我们可以在其中选择相对的参考系。这意味着，任意两个事件都被看作是客观可确定的，而不论它们是同时发生的还是在同一位置发生的。数学上，牛顿的绝对空间用三维欧几里得空间来表示，其尺度用尺子来度量，而时间则被看作是一维的欧几里得空间，其坐标t由标准钟来度量。
因为其绝对同时性，牛顿四维空间－时间被同时事件的最大子集划分为不同层次。每一层是一个可能的事件e的三维超平面t＝t（e），它将其因果性的未来——t＞t（e）层，与其因果性的过去——t＜ t（e）层——分隔开来。在图2．6a中，忽略了第三维空间，以使每一层都形象地表示为二维平面。这个因果结构包括了牛顿的假设：存在着任意远的以超距同时作用的信号。
牛顿的相对空间被兰格准确地描述为：不受外力以恒定速度沿直线运动物体的参考系的惯性系。在这许多可能的惯性系中使用哪一个，这并没规定从一个惯性系变换到另一个惯性系（伽利略变换），也给出了相应的坐标。力学定律对于这些变换是守恒的（不变的）。由于每一伽利略变换都有10个连续的参量（时间1个，旋转、恒速和平移共3乘3个），于是就可以推导出10个守恒定律。例如，时间坐标的伽利略不变量意味着能量守恒定律。非惯性系的参考系具有典型的效应。一个相对于固定恒星旋转的圆盘，其径向力是伽利略变换所消除不了的。简言之，在牛顿的空…时中，匀速运动被看作绝对的优先于加速运动。它的结构由伽利略变换群来定义。
本世纪初，爱因斯坦证明了牛顿的空－时模型局限在相对于高速光运动的低速运动。与任何运动参考系无关的常数c，是麦克斯韦电动力学中的一个因子。因此，牛顿的速度加和定律和伽利略的不变量在电动力学中不可能成立。在狭义相对论中（1905），爱因斯坦假定，光速恒定，物理定律相对于所有惯性系具有不变性（“狭义相对性原理”）；并为电动力学和力学推导出一个共同的空…时框架。闵可夫斯基用四维几何为爱因斯坦的狭义相对论的空－时建立起来模型。我们不应对四维性感到吃惊，因为牛顿的空－时中已经是三维（笛卡尔）空间以及一维时间坐标。
为了简单性起见，选取单位时规定光速等于1，从而长度和时间单位可以交换。空－时中的每一点都代表一个事件，它意味着在某一时刻的空间的某一点。由于粒子在时间中持续，因此它并不由点来代表，而是由一条线来代表，这条线被称作粒子的世界线。为了把闵可夫斯基模型表示出来，可以画出一个空－时系统，以标准时间坐标来度量垂直方向，两个空间坐标来度量水平方向（图2．6b）。
匀速运动的粒子由直线来表示，加速运动的粒子由曲线来表示。由于光粒子（光子）以基本速度c匀速运动，它们的世界线是直线，与垂直方向的夹角为45度。它们形成了一个光锥，具有共同的原点0。在所有的空－时点的光锥系统，被称作相对论空－时的闵可夫斯基模型。
光子的世界线的每一点总是处于光锥上，与此不同，任何以低于c运动的实物粒子的加速或匀速运动，其世界线每一点都必定总是处于光锥之中。由于实物粒子或光子的运动速度不可能高于光速，因此只有处于光锥上或是落在光锥内部的世界线才是物理上确定的。一个事件被看作是晚于0的，如果它处在0以上的未来光锥中；它被看作是早于0的，如果它处于低于0的过去光锥中。因此，光锥决定了相对空－时的因果结构。
在闵可夫斯基模型与普通的欧几里得表象之间，基本的差异在于，世界线的长度被解释为由物理钟度量的时间。因此，与牛顿绝对时间假设相反，时间测量变得与路径有关。所谓的“孪生子悖论”极为形象地表达了这种效应。在图2．6c中，一个孪生子留在匀速、缓慢运动的地球R之上，而另一个孪生子以极大的接近光速的速度进行了一次到靠近恒星S的地方的旅行。闵可夫斯基几何学预言，进行了旅行的那位孪生子在他从Q处返回时仍然年轻，而呆在家中的那一位孪生子却变成了一位老人。这当然不是科学幻想，而是闵可夫斯基世界线的时间测量长度的结果：闵可夫斯基距离RQ大于距离RS和SQ之和，这与通常的欧几里得解释相反。今天，对于以接近光速c运动的基本粒子，这些效应已经从实验上得到了很好的确证。
在闵可夫斯基空－时框架中，物理定律对于特定惯性系的不变性已经由洛仑兹变换所实现。具有伽利略不变性的牛顿空－时在极限的情形下仍然保持：诸如行星天体或地面上的弹子球的运动，它们的速度要远小于常数c。在此意义上，爱因斯坦空－时是经典物理学的顶点，而不是一场打破牛顿空－时的革命。
由莱布尼茨首先引入经典物理学的一个重要概念是能量，它包括系统的动能T和势能U。使质点从位置1移动到位置2完成的机械功，相当于在位置1和位置2之间的动能之差。如果机械功与从位置1到位置2的路径无关，则相应的力场叫做保守力场。摩擦力不是保守力。在一维情形，忽略掉摩擦力时，所有的力都必定是保守的，因为此时从直线上的一点到另一点只有唯一的路径。总能量T＋U在保守力场中是一个常量。
牛顿力学的一个重要应用是谐振子，如小振幅的单摆或弹簧上重锤的上下振动。在物理学各个领域中甚至在化学和生物学中，谐振子都是一种模型。例如，回忆一下电磁光波，在此发生着电场能和磁场能的振动。谐振子在技术中也为人们所熟知，例如线圈和电容中振荡的电流，这里摩擦力相当于电阻。在18世纪和19世纪的哲学中，单摆是机械宇宙的一个象征，它显得是完全确定的，并可由运动的牛顿方程进行计算。
因此，单摆可以看作动力学建模程序的一个经典例子。这种模型假定，摆杆轻巧而又坚固，上端的结合部完全无摩擦，底部的重锤沉重但体积非常小。重力总是将其垂直下拉。在图2．7a中，二维欧几里得平面中的单摆升高角度为a，重力为F，沿摆杆的拉力为Fcosa，力Fsina使之回摆。为了形象地表示出单摆的动力行为，必须建立起态空间和相图的动力学模型。单摆的状态是完全由角度变量α（α＝0和α＝2π表示同样的角度）和角速度v决定的。因此，我们获得一种二维态空间，它可以形象地表示为图2．7b中的循环圆柱。在圆柱中部的垂直圆圈代表了零角速度v＝0的状态。圆柱下部从前至后的直线是（零倾斜α＝0）轴线，单摆在此处于最低点。在起点（α，v）＝（0，0），单摆处于最低的静止位置。
由于在此没有摩擦和空气阻力，把单摆稍微向左边动一下后就会使它不断地来回摆动。在此态空间，相应于这个振荡运动的完整轨迹是一个圆圈，或封闭的环。在下一种情形中，单摆在顶部处于平衡状态，这是不稳定平衡。在左边的一个细微的触动会使得它向右边落下，并加快速度。当单摆通过摆动的底部时，角速度达到其极大值。在再向顶部返回时，单摆会慢下来。单摆再次在其顶部达到平衡。但是，当其处于旋转始态时，用了较大的力使之向右运动，那么其角速度就要大一些。在再次返回运动时，它会变慢，但是不足以在顶部静止下来。于是，单摆就会不停地顺时针旋转下去。在圆柱态空间的相�