在我们采用了这种乘法的定义之后，我们遇到了一种没有想到的困难。如果类的数
目是无限的，好象我们就无法确知选择是可能的。如果这些类的数目是有限的，我们可
以从每一类里任意挑出一个代表来，在大选里就是这样；但是，如果这些类的数目是无
限的，我们就无法有无限数目的任意的挑选，并且我们不能确知可以做出一个选择来，
除非有一个内包来得到所希望的结果。我举一个例子：从前有一个百万富翁，他买了无
数双鞋，并且，只要他买一双鞋，他也买一双袜子。我们可以作一个选择，从每双鞋里
挑一只，因为我们总是可以挑右鞋或者挑左鞋。所以，就鞋来说，选择是存在的。但是，
论到袜子，因为没有左右之分，我们就不能用这个选择的规则。如果我们想从袜子之中
能够加以选择，我们就不能不采取一种精密得多的方法。例如，我们可以找出一个特点
来，在每双袜子中有一只比另一只更近于这个特点。
这样，我们从每一双里挑选那一只比较近于这个特点的袜子，我们就选择出来了一
套。我曾有一次把这一个谜说给在三一学院教职员餐桌偶尔坐在我一边的一位德国数学
家听，可是他唯一的评语是：“为什么说百万富翁？”
有些人以为，不言而喻，如果这些类之中没有一个是零，从每类中选择出一个来就
一定是可能的。另有一些人则认为不然。关于这一点，皮亚诺说得最好：“这一个原则
正确不正确呢？我们的意见是没有价值的。”我们对于我们所谓“乘法公理”所下的界
说是：这是假定永远可能从一组若干类中的每一个（这些类没有一个是零）选出一个代
表来。我们找不到赞成或反对这个公理的论证，因此我们把这一个公理明白地包括在应
用这个公理的任何定理的假定中。在我们遇到这一个问题的同时，载尔美乐提出了他所
说的“选择原理”，这是一个略为不同但在逻辑上相等的假定。他和一些别的人把它看
做是一个自明的真理。因为我们并不采取这一个意见，我们尽力寻求一些方法来对付乘
法而不假定这个公理是真的。
选择的逻辑学说无论在哪一点上都不依赖“数目”这个概念，在《数学原理》里我
们是在给“数目”下界说之前提出来选择学说的。这种意思也可以用于另一个极其重要
的概念，也就是，在普通语言里用“等等”这些字所表示C的那个概念。
假定你想用“父母”这个概念来说明“祖先”这个概念。
你可以说，Ａ是Ｚ的祖先，如果Ａ是Ｂ的父（或母）亲，Ｂ是Ｃ的父（或母）亲，
等等，并且这样在有限的多少步之后，你达到Ｙ这个人，他是Ｚ的父（或母）亲。这都
没有问题，只是有一件，这里边包含“有限的”这几个字，这几个字不能不加以界说。
只有用一个完全一般的概念的特殊应用，给“有限的”下定义才是可能的，就是，从任
何既定的关系而来的祖先关系那个概念。这个祖先关系概念最初是弗雷格远在一八七九
年发展出来的，但是直到怀特海和我发展出这个概念来的时候，弗雷格的工作一直没有
为世人所注意。我们想加以界说的这个概念可以初步解释如下：如果ｘ对于ｙ具有Ｒ关
系，我们姑且把ｘ到ｙ这一步称为“Ｒ步”。你可以从ｙ到ｚ再走一Ｒ步。凡是通过从
ｘ开始的那些Ｒ步你所能达到的东西，我们都说成为关于Ｒ的ｘ的“后代”。我们不能
说凡是通过一个“有限数目的Ｒ步”你所能达到的东西，因为我们还没有对于“有限”
这个辞加以界说。我们只有借“后代”这个概念才能给它下一个界说。关于Ｒ的ｘ的后
代可以界说如下：我们先给关于Ｒ的一个“世传的”类下一个界说。
这是有这样性质的一个类：凡是从这个类的一项通过一Ｒ步所达到的东西就又是这
个类的一项。举例来说，“斯密”这个名称的性质是在父子关系中世传的，人性这种性
质是在父母对子女的关系中世传的。“如果ｙ属于ｘ所属于的每个关于Ｒ的世传的类，
ｙ就属于关于Ｒ的ｘ的后代”，我现在说明这是什么意思。现在让我们把这个应用于普
通的整数，用一个数目对于它下面紧接着的那个数目的关系来代替Ｒ。如果我们现在看
一看关于这一个数目的０的后代，显然１是属于这个后代，因为１＝０＋１；而且，因
为１属于０的后代，２也是如此；而且，因为２是如此，３也就是如此。这样下去，我
们就得到一整套都属于０的后代的数目。我们可以把用所谓“数学归纳法”的证明应用
于所有这些数目。数学归纳法是这样一个原理：如果一个性质属于０，并且属于有这个
性质的任何数目下面紧接着的那个数目，那么，这个性质就属于所有的有限数。把“有
限”数说明为０的后代，这是这个定义的直接结果。从前大家以为数学归纳法是一个原
理，因为从前以为一切数目一定是有限的。这是一个错误。数学归纳法不是一个原理，
而是一个定义。对于有些数目来说它是正确的，对于另一些数目来说它是不正确的。凡
它能适用的数目就是有限数。举例来说，把１加到一个有限数上，这个有限数就增加了；
一个无限数就不是这样。
整个这个祖先关系学说不但对于数目说来是十分重要的。因为这个理由，我们在提
出数的定义来以前就创立了这个学说。
现在我来讲一个东西，我名之为“关系算术”，这占了《数学原理》第二卷的后半
本的篇幅。从数学的观点来看，这是我对于这部书最重要的贡献。我所说的“关系数”
是一种完全新的数，普通数是这种数的一种极其特殊化的例子。我发现，一切能用于普
通序数的那些形式定律都能用于这一种一般得多的数。我也发现，关系数对于了解结构
是很要紧的。
有些辞（“结构”就是其中的一个），正如“等等”或者“系列”，虽然为人用得
惯熟，却无确切的意义。借关系算术，“结构”这个概念就可以精确地加以界说。
这一个问题里的基本定义是前面已经提到过的“次序的类似”或“相似”的定义。
凡和关系有关的地方，这种东西所起的作用正和类似在类与类之间所起的作用是一样的。
类与类之间的类似就是一个一对一的关系的存在，把一类的每一项和另一类中的相关者
连结到一起。Ｐ和Ｑ两种关系之间的次序的类似就是指，有Ｐ领域对Ｑ领域的那么一个
相互关系产生者，凡是两项有Ｐ关系，它们的相关者就有Ｑ关系，反之亦然。让我们举
一个例证：假定Ｐ是已婚的政府官员的位次关系，Ｑ是他们的妻子的位次关系，妻和丈
夫的关系就使Ｐ领域和Ｑ领域有这样的相互关系：只要是这些妻们有Ｑ关系，他们的丈
夫就有Ｐ关系，反之亦然。当Ｐ和Ｑ两种关系在次序上是类似的时候，如果Ｓ是产生相
互关系作用的那个关系，Ｑ就是Ｓ和Ｐ的关系产物，而且是Ｓ的倒转。例如，在上面所
举的那个例证中，如果ｘ和ｙ是两个妻，并且ｘ对ｙ有Ｑ关系，而且，如果Ｓ是妻对丈
夫的关系，那么，ｘ就是对ｙ的丈夫有Ｐ关系那样一个男人的妻，那就是说，Ｑ和Ｓ与
Ｐ的关系产物是同一关系，并且是Ｓ的倒转；Ｓ的倒转就是丈夫对妻的关系。凡Ｐ和Ｑ
是系列关系的时候，它们的相似在于它们的各项可以发生相互关系而不变换次序。但是
相似这个概念可以用于一切有领域的关系，也就是，可以用于一切关系，在这种关系中，
范围和倒转范围是一种类型。
我们现在说，一个Ｐ关系的关系数就是那些在次序上和Ｐ相类似的关系的类。这正
有类于用次序的类似代替类的类似，用关系代替类的基数算术。加法、乘法和指数的定
义有点儿类乎基数算术里的定义。加法和乘法都遵循结合定律。分配定律在一种形式中
是适用的，但是，普通说来，在另一种形式中是不适用的。除了有关的关系的领域是有
限的，交互定律是不适用的。举例来说，今有象自然数的系列的一个系列，在这个系列
上加上两项。如果你把这两项加在开头的地方，这个新的系列就象是那个旧的系列；可
是，如果你把这两项加在末尾，这个新的系列就不同了。无论什么时候，如果ｘ对ｙ有
Ｐ关系，或ｘ对ｙ有Ｑ关系，或ｘ属于Ｐ的领域，ｙ属于Ｑ的领域，那么，Ｐ和Ｑ两种
关系之和就可以说是能适用于ｘ与ｙ之间的一种关系。根据这一个定义，一般说来，Ｐ
与Ｑ之和跟Ｑ与Ｐ之和不同。不仅一般的关系数是如此，而且序数也是如此，如果其中
之一或二者是无限的。
序数是关系数的次一级的类，也就是能适用于“次序整然的”系列，“次序整然的”
系列其性质是：其中任何有若干项的次一级的类有一个第一项。坎特曾研究过超限序数，
但是，据我所知，一般的关系数是在《数学原理》中第一次加以界说和研究的。
一两个例证也许对于我们有帮助。假定你有若干对成一其个系列，你想按照上面解
释选择公理的意思从这些对里形成一系列的选择。这个程序和基数算术里的程序十分近
似，只是有一点不同，就是，我们现在是想把这些选择排成一个次序，而以前我们只是
把它们算做一个类。此外又假定，正如我们讨论类的选择的时候那样，我们有三个组，
（ｘ１，ｘ２，ｘ３）、（ｙ１，ｙ２，ｙ３）和（ｚ１，ｚ２，ｚ３），我们想从这
些里边弄出一个选择的系列来。这有种种办法。也许最简单的办法是这样：任何包含ｘ
１的选择出现在任何不包含的选择之先。在二者都包含ｘ１或都不包含ｘ１的那些选择
之中，那些包含ｙ１的选择出现在不包含ｙ１的选择之先。在二者都包含或都不包含ｘ
１和ｙ１的那些选择之中，那些包含ｚ１的选择出现在那些不包含ｚ１的选择之先。我
们为尾数２和尾数３立下类似的规则。这样我们就得到所有可能有的选择，排成一个系
列，这个系列的开头是（ｘ１，ｙ１，ｚ１），最后是（ｘ３，ｙ３，ｚ３）。显然这
个系列是有二十七项，但是这里二十七这些数目已经不是象我们从前那个例子里的那样
一个基数，而是一个序数了，也就是说，是特别一种关系数。由于在那些选择之中建立
了一个次序，它和一个基数是有区别的，一个基数并不建立一个次序。只要我们只限于
有限数，在序数与基数之间是没有重要的形式上的分别的；但是，有了无限数的时候，
由于交互定律不起作用，其间的分别就变得重要了。
在证明关系算术的形式定律的时候，我们常常有机会讨论系列的系列的系列。用下
面这个实例，你在心中就可以得到一个具体形像：假定你要把一些砖堆积起来，而且，
为的是把这件事说得更有趣，假定这是些金砖，你是在诺克司堡工作。我现在假定你先
弄成一行砖，把每一块砖放在前一块的正东；你然后再弄一行，和第一行接触，但是是
在第一行的正北；这样下去，你弄了许多行，到适当的程度而止。然后你在第一层的上
面弄第二层，在第二层的上面弄第三层，这样下去，直到所有的砖都堆完为止。那么每
一行就是一个系列，每一层是一个系列的系列，这一整堆是一个系列的系列的系列。我
们可以用符号把这个过程代表如下：假定Ｐ是上层对下层的关系；Ｐ的领域是由各层而
成；每一层是一系列的行。假定Ｑ１是最高一层各行南对北的关系，Ｑ２是第二层各行
的这种关系，其余类推。Ｑ的领域是一系列的行。在最高一层最南边的一行中，东对西
的关系，我们称之为Ｒ１１；在最高一层的第二行中，东对西的关系，我们称之为Ｒ１
２；其余类推，最后是Ｒｍｍ，假定ｍ是层的数目，ｎ是每一层中行的数目。在这一个
实例中，我是假定层数和行数是有限的，但是这是一个完全不必要的限制，有这一个限
制只是为把这个实例弄得简单一点。在普通的语言里，所有这些都颇为复杂而冗长，但
是用其符号来就变得简易了。假定E是ｘ对Ｐ的关系（这个关系就是ｘ是Ｐ的领域的一
项）。那么，F３就是F和F和F的关系产物。举例来说，单个的砖是对Ｐ有F３关系的一些
项，那就是说，每个砖是Ｐ的领域的一项的领域的一项的领域的一项。在证明加法和乘
法的结合定律的时候，我们需要这样的系列的系列的系列。
如果两个关系数在次序上类似，我们可以�