的或连续的量，连续物（Kontinuum），是每一个被设想为在变的状况之下的大小，以致这个变的出现不是
以跳跃的方式，而是由于不断的前进。”这到底不过是被下定义的事物的同语反复而已。——黑格尔原注 *
狄克孙（Dirksen，EnnoHerren，1792—1850），柏林数学教授。著有《变数计算的解析表述》，1823 年。
——原编者注
但是事物的这种状态之所以被弄得很模糊，是因为前例中所说的纵座标
的原素被了解成差分或增量，即它仅仅是一个纵座标的定量与另一纵座标的
定量之间的区别。于是这里的极限便泼有比率的意义，只被当作最后的值，
与另一同类的大小经常接近，以至其区别顺意怎样微小，便可以怎样微小，
而最后的比率便成了一个相等的比率。这样，无限差分便是一个定量与另一
定量的区别之落漾不定，而质的本性便在观念中退后了，就这种本性说来，
dx 在本质上并不是对x 的比率规定，而是对dy 的。与dx 对比，dx2 固然可
以消失；但dx 与x 对比，却更会消失；这就真正意谓着：dx 只是对dy 才有
一比率。——几何学家们在这样的表述中主要该作的事，就是使一个大小对
它的极限的接近，明白易晓，把握住定量与定量的区别如何是区别而又不是
区别这一特点。但是“接近”这一范畴，却本身简直什么也没有说，也不曾
使任何东西明白易晓；dx 已经把接近抛在背后，它既不是近，也不是更近；
而无限近本身就意味着邻近和接近的否定。由于现在事情是这样，即增量或
无限差分，假如只就定量方面来看，它们便只是定量的极限，而定量却在它
们之中消失了，这样，它们便被理解为无比率的瞬刻。从这里会得出不能容
许的观念，即在最后比率中，如横座标、纵座标、或正弦、余弦、切钱、反
正弦以及一切等等都可以被认为彼此相等。假如一条弧线将被当作一条切毙
处理，那么，这种观念好像就会占上风；因为弧与直线当然也是不可通约的，
它的原素比直线的原素有另外不同的质；假如有圆的方（ qiiadrata
rotundis），假如弧的一部分，尽管是无限小，却被认为是切线的一段，从
而被当作直线来处理，这似乎比混同纵横座标、反正弦、余弦等还更荒谬，
更不能容补。——但是这种处理，与方才斥责过的那种混同，有本质的区别，
理由是：在一个以一个弧的原素及其纵横座标的原幸为边的三角形里，其比
率与那条弧的原素好比是一条直线的原素，即切线的原素，是同一的；诸角①
所构成主要比率，仍然就是这些原素的比率，由于那个比率把属于这些原素
的有限大小都抽掉了，所以那些角仍是同一的。②——人们对此也可以说，作
为无限小的诸直线是过渡为曲线了，并且它们在无限中的比率是一个曲线的
比率。直线就定义说，既然是两点之同最短的距离，那么，它与曲线的区别，
其根据就在于数量的规定，在于这段距离上可区别的较小的数量，所以那是
一种定量的规定。但是当这种规定被认为是内涵的大小，是无限的环节，是
原素时，它就在数量中消失了，于是它与曲线的区别也消失了，这种区别仅
仅依赖定量区别。——所以直线和曲线，作为无限，并没有量的比率，从而
根据已狸承认的定义，也彼此不再有质的差异，而是直线过渡为弧。
① 诸角，指上面所说的三角形内的三个角。——译者
② 意指即使弧被当直线处理，它所构成的三角形，伪然是同一的。——译者
说同一整体的无限小部份彼此相等，这样的假设本身是不确定而全然漠
不相关的，它与把异质的规定等同起来，相近而又毕竟不同。但是，这种假
说应用到一个自身中就有异质的对象，即带有大小规定本质的不均性的对
象，却引出高等力学中一个命题所含的奇特的颠倒，这个命题说：一个曲线
的各无限小部分，是以匀速运动在各个相等的、并且诚然是无限小的时同通
过的：同时关于这个运动，又作这样的主张，即曲线的各有限的、即存在看
的、不相等的部分，是以这样的运动在各个相等的、有限的、即存在着的时
间部分通过的；这就是就，这种运动是、并且被认为是存在着的、不匀速的
运动。这个命题是用文字来表现一个解析的项应当意味着什么，这种项是由
前面已经引用过的不匀速而又符合某一规律的运动公式之展开而发生的。新
发明的微分计算，永远总是和具体对象打交道，校早的数学家对它的结果，
企图用词句来述说，用几何图表来表现，主要是为了把这些结果，依照普通
证明方式，用于定理。解折的处理，把一个对象，例如运动的量，分解为一
个数学公式的各项，这些项便在公式那里获得了对象的意义，例如速度、加
速力等等；根据这样的意义，这些项便应该给出正确的命题，物理的规律，
而它们的客观联系和比率也应该依照解析的关联来规定，正如在一个匀加速
运动中，存在着一个特殊的、与时间成比例的速度，但是除此之外，还总是
耍添上重力的增长。这一类的命题，在近代力学的解析的形态中，常常是被
当作计算的结果来引用，而不理会它们是否本身有实在的意义，即与一存在
物相符合的意义，也不理会这样意义的证明。假如用显明的实在的意义去看
待这些规定，要使其联系——譬如从那种简单的匀速度到一种匀加速度的过
渡——明白易晓，有了困难，那么用解析的处理也就可以完全消除这种困难，
因为在解折处理中，这种联系只是现今已有牢固权威的运算的简单结果。仅
仅用计算，便会超出经验，找到规律（即没有存在物的存在命题），这被说
成是科学的胜利。但是在微分计算最初的幼稚时期，应该指出那些用几何图
线来表示的规定和命题本身的实在意义，使其可通，并已在这样的意义之下，
将那些规定应用于有关的主要命题之证明。（参看牛顿在《自然哲学的数学
原理》第一卷第二部分第一命题对他的万有引力论基本命题的证明，与舒伯
特①的《天文学》——第一版，第二卷§20——比较，那里承认，在证明的关
键之点，情况并不严格地像个顿所假定的那样。）
不能否认，在这个颁域里，许多东西主要靠无限小的帮忙而被满意地当
作证明，其理由不外是所得结果总是先前已经知道的，而这样安排得来的证
明，至少也能带来一种证明架子的假象，——比起单纯的信仰或经验的知识
来，人们总是更喜欢这种假象一些。但是我毫不犹豫，认为这种方式栋毫不
比对证明单纯变戏法、卖假药好一些，其中甚至也耍算上牛顿的证明，尤其
是方才引过的、属于他的那些证明，人们为此把牛顿捧上天，说他高出克卜
勒之上，因为克卜勒仅仅是由经验找到的东西，牛顿却对它加以数学的证明。
为了证明物理的规律，这些证明的空架子便架起来了。但是，由于物理
的量的规定就是那些以环节的质的本性为基础的规律，数学对它们根本不能
够证明；理由很筒单，因为这门科学不是哲学，不是从概念出发，并且质的
方面，由于不是以辅助证明的方式从经验取来，因此便在数学的范围以外了。
说数学中出现的一切命题都应该有严格证明，要维持数学的这种荣誉，使它
常常忘记了它的界限；于是简单承认经验是经验命题的源泉和唯一证明，便
似乎是触犯了数学的荣誉。后来关于这种情况的意识变得较为有修养了；但
是在这种意识没有区别清楚什么是数学可证明的和什么是只能从别处取得证
明的以前，风及区别清楚关于什么只是解折展开的项和什么是物理存在物以
前，科学性是不能达到严格而纯净的态度的。但是中顿的那种证明架子，无
疑也将和牛顿从光学实验得来的另一无根据的构造以及与共有关的推论，遭
到同样公正的命运的。应用数学至今还是充满着这类经验和反思的酿制品，
① 舒伯特（Schubcrt，Friedrich Theodorvon，175S—1825），彼得堡天文台长，著有《理论天文学教科书》，
1798 年；《通俗天文学》三卷，1804—18l0 年。——原编者注
但是和那种光学自长时期从来就已经开始一部分接着一部分在科学中实际上
被忽祝了一样（这里仍有不彻底处，即剩余的部分尽管其中有矛盾，却还是
被保留下来了），那些骗人的证明，事实上也同样已经有一部分被忘却或被
其他证明代替了。
注释二 微分计算从它的应用所引导出来的目的
前一注释中所考察的，一部分是微分计算所用的无限小的概念规定性，
一部分是将无限小引人微分计算的基础；两种规定都是抽象的，所风本身也
是容易的。但是所谓应用，却既提供了较大的困难，又提供了较有趣的方面；
这个具体方面的原素，应该是本注释的对象。微分计算的全部方法只用一个
命题便毕业了，即dxn=nxn…1dx；或
f x i fx
i
P
（ ＋ ） …
= =p，即等于依dx 或i 的方
幂而展开的x 十dx，x＋i，这个二项式的首项系数。再不需要学更多的东西；
以后的形式，如乘积的微分、指数的量等等推演，都可以机械地由此得出；
用很少时间，或许用半点钟，便可以学会全部理论——因为求得微分，其反
面，积分也就有了，即微分的原始函数也就求得了。不过，在以解析的方式，
即以完全算术的方式，由变量函数的展开而求得那个系数之后，在这个变量
由增长而获得一个二项式的形式之后——在课题这一情况很容易办好之后，
而其另一情况，即正在发生的系列，除首项外，其余诸项都被省略，仍有其
正确性：要懂得这一点并使其可以理解，却须费校长的工夫。假如情况是：
唯有那个系数才是必要的，那么，这就会正如我们所说，只要有了系数的规
定，一切与理论有关的东西，用不了半点钟便完结了；而省略系列的其余各
项也并不成为困难，它们之作为系列各项（作为第二、第三等函数，它们的
规定已经与第一项的规定一起解决了），倒是完全谈不到的，因为这里的事
情与它们毫不相干。
这里可以首先提说一下，人们当然立刻可以看出微分计算不像是只为自
己而发明、建立的；它之创立另一种解析办法，不仅不是为它自己，而且勉
强干脆省略掉展开一个函数所产生的各项，那倒简直是与一切数学原理完全
矛盾，因为这一展开的整体却仍然被认为完全属于有关的事情，——这个事
情被看作是一个变量（在格予这个变量一个二项式形态以后）的展开了的函
数与原始函数的区别。需要这种办法，而在这种办法本身那里又缺少论证，
这就立刻显出了它的来源和基础必定是在别的地方。在别的科学中，也曾出
现过同样的事，那首先树立起来的、作为基本的东西，并且许多科学命题都
应该从那里演溃С隼矗词且桓霾幻鞑话椎亩鳎睦碛珊透莘炊�
后来才得显明。微分计算史中的演进，说明了尤其在各种切线法，也同样是
以人工制造品作事情的开始；在方法扩展到更多的对象以后，它的方式才渐
渐被意识到，而被纳入抽象的公式，并被试图提高为原则。
我们已经指出过，那些被安置在相互比率中的定量，其质的量规定性就
是所谓“无限小”的概念规定性，这里联系着想用关于无限小的描写和定义
来证明那种概念规定性的经验的研究，在这种情况下，无限小是被当作无限
差分风及诸如此类的东两。——这种情况之发生，其兴趣只在于抽象的概念
规定性；更进一步的问题则是从这种抽象的规定性过渡到数学的形成和应
用，情况是怎样的。为此目的，首先须更进一步着手理论方面、即概念规定
性，它本身将证明并非是完全无益的；然后就要考察这种概念规定性与应用
的关系，并就这里范围所及，在这两方面都要证明，一般结论对于微分计算
所需要做的事，以及做成它的方式如何，都同样是适宜的。
这里首先需要提一下，现在所谈的概念规定性在数学方面的形式，已经
附带讲过了。量的事物，其质的规定性，首先一般地表现为量的比率，但是
在说明所谓各种计算方式时（参看有关的注释），也曾经预示在方幂比率（将
来在适当的地方还要加以考察）中，数由于它的单位和数目这两个概念环节
之相等被当作是回复到自身，从而在自身那里获