正是一这个因数完成了虽有增长而无量的规定性和变化这一目的：另一方
面，带着量的差分这种错误观念的dx，以及带着在此处无用的普通性假象的
其他符号，如i，总是有定量及定量方幂的外貌和假托；尔后这种假托又惹
起必须将它取消和省去的麻烦。为了维持一个依方幂而展开的系列形式，指
数的符号作为指标（indices）同样也可风加在一的后面。但是无论如何，必
须抽掉系列和按系数在系列中地位而有的系数规定；这一切之间的比率都是
同一的；第二函数之从第一函数导引出来，也正如第一面数从原始函数导引
出来那样，假如一个函数被算作第二函数，那么第一函数，虽然也是导引出
来的，而对于第二函数说来也就又被算作原始函数了。重要之点是兴趣不在
于系列，而唯一在于从展开所发生的方幂规定，这种规定与对方幂是直接的
量有比率。所以这些方幂并不被规定为展开的首项系数，因为一项是以与系
列中其他后继各项的关系而被称为首项，但是一个作为增长方慕这样的方幂
以及系列本身，却与此无关，假如宁愿要导出的方幂函数，或如以前说的量
的乘方函数这样单纯的名词，那么，它就已经被假定为已知的，“导数”就
以这种方式被认为是包括在一方幂之内的展开了。
假如税现在数学在这一部分解折中的真正开始，不过是求出由方幂展开
而规定的函数，那么，也还有一个问题，即从这里得到的比率该怎么办呢，
这个比率在哪里有应用和使用之处呢，求这些函数，到底是为了什么目的呢。
求出具体对象的比率，可以将它们归结到那些抽象的、解析的比率；微分计
算由此得到很大的兴趣。
关于能否应用问题，借助于指出过的方幂环节的形态，首先从事情本性
出发，还不要从应用事例去推论，也就自然产生如下的结果。方幂大小的展
开（其乘方的函数由此产生），抽掉了较细密的规定，首先便一般地包含着
将大小降低到最近的较低方幂。于是这种运算便可以应用到同样有着这种方
军区别的那些对象上去。假如我们现在考虑到空间规定性，那么，我们便发
现它含有三维，我们为了把这三维与长、宽、高等抽象的区别相区别，可以
称它们为具体的区别，即线、面和整体的空间；我们以最简单的形式，从自
身规定，也就是从解析因次的关系去看待它们时，便有了直线、平面、作为
平方的平面和立方。直线有一经验的定量，但是随着平面，便出现了质，即
方幂的规定；至于较细密的变形，例如随着平面的曲线也出现了质，我们可
以置之不理，因为这里所涉及的，首先只是一般的区别。这里也产生了从鼓
高的方幂规定到较低的过渡以及相反的过渡之需要，因为，例如直线规定便
应当从已知的平面等等方程式导出，或是相反。——此外还有运动；对它所
要观察的，就是它通过的空间及因此所用去的时间的大小比率；运动表现为
各种不同的规定，如简单的匀速、匀加速、匀加速和匀减速的交替、回到自
身等运动；由于各种运动，都是依照其空间、时间两环节的大小比率来表示
的，于是为了这些运动，便从不同的方幂规定，产生了方程式：在这种情况
下，可能需要从另一种运动或另一种空间大小来规定一种运动或与运动相连
的一种空间大小，于是也同样引起运算从一个方幂函数到一较高或较低的方
幂函救的过渡。——这两种对象的例子应当可以满足引用这些对象的目的
了。
微分计算在应用中所呈现的偶然外貌，会因为意识到应用所能有的范围
的本性和这种应用真正的需要与条件而大为简化。但现在的周题是须耍进一
步知道，在这些范围内，数学课题的对象的哪些部分之间有像微分计算特地
建立起来的那样的比率。必须立即提出来说，这里有二种比率须加注意。一
个方程式开方的运算，依其变最所导出函数来考察这一方程式时，所得的结
果，本身真的不再是一个方程式而是一个比率；这个比率是真正微分计算的
对象。正因此也就有了从较高方幂规定（原来的方程式）本身到较低方幂规
定（导出的方程式）的第二种比率。我们在这里先把第二种比率放在一边；
那在以后将是积分计算的特殊对象。
我们先来考察第一种比率，并且对于从所谓应用取得的环节的规定（这
是运算兴趣所在），举一个最简单的曲线例子，这些曲线是由一个二次方幂
的方程式所规定的。大家都知道座标线的比率是由一个有方幂规定的方程式
所直接给予的。基本规定的结果是与座标线有关联的其他直线，如切线、次
切线、垂直线等规定。但是这些线与座标线之间的方程式，却是直线方程式；
整体（这些直线被规定为某部分）就是直线的直角三角形。从包含方幂规 定
的基本方程武到那些直漆方程式的过渡，现在就包含着上述的从原始函数（即
是一个方程式）到导出的函数（即是一个比率，而且当然是被包含在曲线中
的某些直线之间的比率）的过渡。现在须要找出来的，就是这些直线的比率
和曲线方程式之同的关联。
最早的发现者只知道用完全经验的方式来陈述他们的发现，对于仍然是
完全外在的运算不能加以评价，在这里提到一些历史方面的事，并不是没有
兴趣的。我对此暂时满足于举牛顿的老师巴罗为例。他在《光学与几何学讲
义》中，按不可分的方法术处理高等几何的问题，这种方法首先与微分计算
的特点个饲，他也说明了他规定切线的办法，“因为朋友们敦促过他”（第
十讲）。这种说明的情况如何，这种办法如何被陈述为完全像外在的规则那
样，——用的是和以前算术教科书中讲授算法的，‘三数法，”①或更恰当些
的所谓“弃九法”同样的笔调：要对此有适当的概念，须读他的原朽。他划
出一些细微的线（这些棚微的线后来被称为一条曲线的特殊三角形中的增
量），于是立下章程作为单纯的规则，要把随方程式的展开而出现的那些增
量的方慕或乘积诸项当作是多余的，加以省略（因为这些项所值是零，etenim
isti termini nihi1umvlebunt）；同样，假如一些项只六有原未方程式所规
定的大小，它们也必须扔掉（——这就是后来从风增量构成的方程式中减去
原来的方程式）；最后，必调用纵匡标本身宋代替纵座标的增量，用次切线
来代替横座标的增量。
① 指算术中从一比例的三个已知数求弟四未知数之法。——译者
假如这样说可以容许，那么，我们就要说这种办法不
能以小学教师的方式来说明；——后一种代替是假定了纵横座标的增量与纵
座标和次切线有比例，这种假定在普通微分方法中，成了切线规定的基础；
而这个假定在巴罗的规则中，却赤裸裸表现其幼稚。一个规定次切线的简单
方式，是已经发现了的；罗伯伐尔①和费尔马②方法也达到了相似之点，一求
出最大值和最小值的方法（最小值便从这种方法出发），是依靠同样基础和
同样办法的。要找到所谓方法，即那一类的规则，而又把它们搞成神妙莫测，
这在当时曾经是数学的狂热病，这种神妙莫测的东西不仅很容易，而且在某
种情况看来，也是必要的，其理由也同样是它很容易，——这是因为发明者
只找到了一种经验的、外在的规则，而不是方法，即不是从公认原则演释出
来的东西。这些所谓方法，莱布尼蕬从他的时代，牛顿也同样从同一时代并
且从他的老师那里，直接承受下来了；这些所谓方法，由于形式的普遍化和
可以应用，为科学开辟了新路，但也就从而有需要使办法冲破单纯外在的规
则形态，并且有了对它作必要修正的企图。
① 罗伯伐耳，Personne，Gilles， Sieur de Roberval，1602…1675 年。——原编者注
② 费尔馬，法国数学家，是应用微分量米找出切线的第一人。参看本书第284 页原编者注。——译者
我们若仔细分析这个方法，那么，真正的过程就是下面这样。首先，方
程式中所包含的方幂规定（这当然是指变量的方冪规定），降低到它们的最
初导数。但是这样一来，方程式各项的值便有了变化；因为再没有方程式剩
下来，只是在一变量的最初导数与其他变量的最初导救之间产生了一个比
率；代替px=y2 有了px2y；或是代替2ax…x2=y2 有了c…x：y，这就是以后常常
被称为
dy
dx
的那个比率，这方程式是一个曲线方程式，那个比率完全依靠这个
方程式，从那里（这在上面就是按照一个单纯的规则）导出的，却反而是一
个直线的比率，某些直线以此而有比例；p：2y 或a…x：y，本身是从曲线的
直线，即从座标线，参数而来的比率；但是人们从这里还是没有知道什么东
西。有兴趣的事，是要知道关于其他在曲线那里出现的直线，求出适合于它
们的那个比率，即两种比率相等。其次，问题是：由曲线本性所规定的，而
又有这样比率的直线，是什么？——但这是久已知道的东西，由那种方法所
获得的比率，就是纵座标与次切线的比率。古人曾经用聪敏的几何方法求出
这个；近代发明者所发现的东西，只是经验的办法，把曲线方程式如此安排，
以便提供已经知道的那个第一种比率，它等于那包含它所要规定的直线（这
里就是次切线）的比率。方程式的那种安排，一部分是有方法地去理解并造
成的，即取导数（Differentia… tion），一部分却是发明了想像的座标增量
以及由这两个增量与切线的一个同样想像的增量所构成的想像的特殊三角
形，于是由方程式的开方而找到的比率和纵座标与切线的比率两者的比例性
质，不仅不被表述为是经验地从旧知识得来的某种东西，而且是经过证明的
东西。但是旧知识却以上述规则的形式，一般地，极其明白地证明自身假定
是特殊三角形和那种比例性质的唯一的起因和有关的理由。
拉格朗日抛弃了这种假冒的货色，开创了真正科学的道路；理解问题所
在，须归功于他的方法，因为这种方法就在于把为了解决周题而必须作出的
两个过渡分开来，把每一方面都分别加以处理和证明。——在对过程作较详
细的说明时，我们仍然用求出次切线这样初步问题的例子。这个问题的解决，
一部分，即理论的、或一般的部分，即从已知的曲线方程式术出第一函数，
这由它本身就可以调整就绪；这一部分给了一个线的比率，即直线的比率，
这些直线出现于曲线规定的系统之中。问题解决的另一部分，是求出曲线中
有这种比率的那些直线。现在可以用直接的方式（《解析函数论》第二部分
第二章）办到这一点，即没有特殊三角形，这就是说无须假定无限小的弧和
纵横座标，也无须给它们以dx 和dy（即那种比率的两端）的规定和那个比
率立刻直接与纵座标及次切线相等的意义。一条线只有在它构成一个三角形
的边之时，它（一个点也如此）才有它的规定，正如一个点的规定也只是在
这样的三角形中那样。顺便可以提一下，这是解析几何的基本命题，它之引
人座标线就像它把力的乎行四边形引人力学中那样（这本来是同一回事），
正因此，平行四边形才完全不需要费许多气力去找证明。——现在以次切线
为一个三角形的一边，纵座标及有关的切线为三角形其他的边。切线作为直
线，其方程式便是p＝aq（加上十b 对于规定并无用处，那只是为了癖好普
遍性的缘故才添上去的）；
p
q
比率的规定便归在q 的系数a 之内，它又是方
程式的有关的第一函数，但一般只需要把它看作是a＝
p
q
，如以前所说，这
是应用于曲线被当作切线的那种直线的规定。再者，现在既然假定了曲线方
程式的第一函数，那么，它同样也是一条直线的规定；进一步说，既然假定
了第一条直线的座标线p 与曲线的纵座标y 是同一的，那么，第一条直线被
当作是切线与曲线相交的一点，也就是由曲线第一函数所规定的直接的起
点，所以应该要指出的是：这第二条直线与第一条重合，即它是切线；用代
数来表示，即因为y=fx，和p=Fq，现在说y=p 所以fx=Fq 而fa＇=Fq＇。现
在被当作切线来应用的直线，与由方程式而来并被其第一函数所规定的直
线，是重合的，所以第二条直线是切线；证明这一点将山横座标的增量i