浅的例子来说明这种规定。这种规定之所以产生，在于：从一个方幂函数的
方程式，求出展开项的系数，所谓第一导数；这个函数是一个比率，它在具
体对象的诸环节中得到证明；如此由这个函数得来的方程式，便在那两个比
率之间规定了这些环节本身。
同样也须要简短考察一下积分计算原理以及这原理应用于积分计算特殊
具体规定所发生的东西。这种计算的观点之所以已经简化并得到更正确的规
定，因为它已不再被认为像与求微分对立时被称为累加法（Sumrnations
Methode）那样，在那时，增长还被当作是重要的成分，从而计算还好像与系
列的形式有本质的联系。——这种计算的任务，起初也和微分针算的任务一
样，是理论的，或者不如说是形式的；但是大家也都知道，它正是微分计算
的反而；——这里是从一个函数出发，这个函数被认为是导数，并且是从一
个还未知的方程式的展开而产生的次一项的系数，从这个导数应该找出原来
的方冪函数；在展开的自然序列中必须被看作是原来的函数的，这里却是导
出来的；而以前被认为是导出的函数的，这里却是已给与的，或一般开始的
函数。但是这种运算的形式部分，似乎已经由微分计算实现了，因为一般由
原来的函数到展开的函数的过渡及其间的比率，在那里已经确定了。假如一
方面为了应用我们必须从那里出发的函数，另一方面又为了实现从这个函数
到原来函数的过渡，在许多情况下，都必须采用系列形式作避难所，那么，
首先便必须坚持这种形式本身与求积分的特殊原则并不直接相干。
但是这种计算的另一部分任务，就形式运算的关系看来，现在就是这种
运算的应用。现在这种应用本身就是任务，即是要认识 上面所指出的意义，
一个特殊对象的已知的、被认为第一导数的原来函数所具有的意义。这种理
论本来似乎也可以在微分计算中完全了结的；但是出现了另外一种情况，使
得事情不这样简单。因为在这种计算中，发生了这样的事，即是由一个曲线
方程式的第一导数得到一个是直线的比率，所以从而就知道求这个比率的积
分，也便有了在纵横座标的比率中的曲线方程式；或者说，假如有了一个关
于曲线平面的方程式，那么，微分计算便应该已经告诉人们关于这样方程式
的第一导数的意义，即这种函数表示纵座标为横座标的函数，于是也就表示
了曲线方程式。
但是现在问题所在，是；对象的规定环节哪一个本身在方程式中是已知
的，因为解析处理只能以已知的作出发点，并从那里过渡到对象其余的规定。
例如已知的，既不足曲线的一个平面空间的方程式，也不是由曲线旋转而发
生的某种立体，也不是曲线的一段弧，而只是在曲线本身的方程式中的纵横
座标的比率。因此，从那些规定到这个方程式本身的过渡，是不能够在微分
计算中已经得到处理的；求出这些比率是要留给积分计算来做的。
但是从前又曾经指出过的，有较多变量的方程式，求它的微分，所给予
的展开方冪或微分系数，不是作为一个方程式，而是作为一个比率；于是任
务就是要为这个是导出函数的比率，在对象的环节中，指出与它相等的第二
个比率。另一方面，积分计算的对象，是原来的函数对导出的（这里应该是
已知的）函数的比率本身，并且任务是在已知的第一导数的对象中，指出那
种须要去求得的原来函数的意义；或者不如说，由于这种意义（例如一条曲
线的平面，或要使其变直的、被想像为直线的曲线等），已经被宣布为间题，
任务就是要指出这样的规定将由原来的函数找到，并且指出什么是对象环
节，什么就在这里必须被当作是（导出）函数的开始函数。
把差分观念当作无限小的观念来使用的那种普通方法，现在却把事情弄
的很容易；对于求曲线的平方，它就把一个无限小的长方形，即纵座标和横
座标的原素（即无限小）的乘积当作不等边的四边形，这个不等边的四边形
以对着横座标无限小部分的那个无限小的弧为它的一边：于是乘积便在以下
的意义有了积分，即积分给予了无限多的不等边四边形的总和，即平面，而
这个平面所需要的规定，就是它的那种原素的有限的大小。同样，这个平面，
由弧的无限小以及属于此种无限小的纵横座标，形成了一个直角三角形，在
这个三角形中，那个弧的平方须等于其他两个无限小的平方之和，求后两者
的积分所得的弧，是被当作一个有限的弧的。
这种办法，以那种一般发现为前提，那种发现为解析的这一部门奠定了
基础，它在这里的方式，就是：成了平方的曲线，变直了的弧等等，对曲线
方程式所给予的某一函数，有着所谓原来函数对导出函数那样的比率。因此
现在所要知道的，是：假如一个数学对象（例如一条曲线）的某一部分被认
为是导出的函数，那么，它的哪一另外的部分是由相应的原来函数来表示呢？
人们知道，假如由曲线方程式给予的纵座标函数被认为是导出的函数，那么，
相对的原来函数就是这个纵座标所切的曲线面积大小的表现；假如某一切线
规定被认为是导出的函数，那么，它的原来函数就表现为属于这个切线规定
的弧之大小等等；现在这些比率构成一个比例，它们一个是原来函数对导出
函数的比率，另一个是数学对象两个部分或两种情况的大小比率；但是使用
无限小并以它作机械运算的那种方法，却省掉了对这一点的认识和证明。它
特殊的聪明功绩，是从别处已经知道了的结果里，找出一个数学对象的某些
和哪些方面，与原来函数和导出函数有比率。
在这两个函数中，导出的函数（或说它既是已被规定的，那就是乘方的
函数），它在这里的计算中，相对于原来函数而言，是已知的，而原来函数
却应该通过求积分，从那个导出的山数找出来。但是这个导出的函数既不直
接是已知的，而数学对象的哪一部分或规定，应孩被看作是导出的函数，以
便把它还原为原来的导数，求出对象的另一部分或规定（它的大小就是问题
所要求的），这个部分或大小，本身也不是已知的。普通的方法，如已经验
过的，是立刻以导出函数的形式，把对象的某些部分想像为无限小；这些部
分，一般可以从对象原来已经给予的方程式，通过求微分而规定（——正如
无限小的纵横座标是为了使一条曲线变直）。这种方法为此便采用这样的部
分，它们可以与同样被设想为无限小的问题对象（这在前一例中，就是弧）
有联系，这种联系是初步数学中已经确定的；因此，假如这些部分是已知的，
那么，问题所要求得的那一部分的大小，也就被规定了；所以为了求曲线的
长，上述的三种无限小便与直角三角形的方程式速系起来；为了求曲线的平
方，纵座标和无限小的横座标便联系在一个乘积之中，因为平面在算术上，
一般被认为是直线的乘积。于是从平面。弧等等这样的所谓原素到平面、弧
等等的大小之过渡，其本身只被当作是从无限多的原素的无限表达过渡到有
限表现，或说是它们的总和；所求的大小，应该是山这些无限多的原素构成
的。
因此，说积分计算单纯是微分坟算倒倒过来的、但一般较为困难的问题，
只能是肤浅的说法；积分计算的真实兴趣，倒不如说是唯在于具体对象中原
来函数和导出函数的相互比率。
拉格朗日既不用那些直接假定的便易方式来免除任何问题的困难，也不
同意在这一针算部门那样做。用少许几个例子，来指出他的办法的细节，这
同样有助于说明事物的本性，他的办法正是以这一点为自己的任务，即，要
本身证明庄一个数学整体（例如一条曲线）的特殊规定之间，有着原来西数
与导出函数的比率。但是，由于这种经率的本性，这一点在这个范围内，是
不能用直接的方式来完成的；因为在数学对象中，这个比率把曲线和直线，
把直糙的因次及其函数和平面的因次及其函数等不同质的东西联系起来了；
所以其规定只可以看作是一较大和一较小的东西之间的中项。这里当然又出
现了带着加减号（p1us uiid minus）的增长形式，而那个活泼有力的“展开”
（Deve1oppons）也就在它的位置。上了；但是正如以前所说，这里的增长只
有算术的、有限的意义。须要规定的大小，它比一个易于规定的极限大些，
比另一极限又小些，假如展开这种条件，便将引导出这样的事：例如纵座标
的函数，对面积的函数而言，就是导出的第一函数。
拉格朗日对求曲线的长的说明，山于他从亚基米德原理出发，其饶有兴
趣之处在于理解亚基米德方法之翻译为近代解析原理，这使我们对于用另一
种方法去机械地搞的事业，可以洞见其内在的、真正的意义。这种办法的方
式与方才所举的办法①，必然类似；亚基米德原理并没有给予直接的方程式，
这个原理是说一条曲线的弧比包的弦我大，比在弧的终点反其交点间所做的
两条切线之和较小。那种亚基米德的基本规定翻译成近代解析形式，就是发
明一种表现法，其本身是一个简单的基本方程式，而那种亚基米德的形式却
只是提出要求，要在每时每刻本身都是规定了的一个太大者和一个太小者之
间无限进展，这种进展永远总是又有一个新的太大者和一个新的太小者，但
它们的界限总是愈来愈紧密地接近。借助于无限小的形式主义，立刻便立下
了dz2=dx2＋dy2 这一方程式。拉格朗日的解歌，由上述基础出发，却相反地
指出弧的大小，对一个导出的函数说来，是原来的函数，其特殊之项，本身
就是一个函数，这个函数是由一个导出函数与纵座标的原来函数的比率构成
的。
因为在亚基米德的办法中，也像以后在克卜勒立体几何学对象的讨论中
那样，都出现了无限小的观念，所以这一点常常被当作权威来引用，在微分
计中便使用了这个观念，而不去强调特殊的和有区别的东西。无限小首先意
谓着这样的定量的否定，即所谓有限表现或完成了的规定性之否定，这样的
规定性即是定量本身。同样，在后继的伐勒里烏斯①、卡伐列里②等人的著名
方法中，都是以对几何对象的比率之考察为基础，各种规定也首先是只从比
率方面来考虑，因此之故，那些规定的定量本身这一基本规定被放在一边，
从而那些规定就认为应该是非大小的东西。但是一方面在这里并没有认识和
注意到潜藏在单纯否定规定后面的一般肯定的东西，这在前面曾抽象地表明
为质的量规定性，而这种规定性在方冪比率中便更加确定；一一另一方面，
因为这种几率自身叉包括一定数量的更确定的比率如方静的比率及方幕的展
开函数等，所以它们又应该以那个无限小的一般的和否定的规定为基础，从
那里引导出来。在方才举出的拉格朗日的解说中，找到了包含在亚基米德阐
明问题的方式中的那种确定的肯定方面，因此对于那种受无界限的超越之累
的办法，也就给了一个正确的界限。近代发明的本身伟大处，和它解决以前
无法瘢S的问圈，以及用简单方式处理以前可解决的问题的能力，这些都完
全是由于发现了原来的和所谓导出的事物间的比率，以及发现一个数学整体
中具有这种比率的那些部分。
① 即规定所要求的大小，是在一较大者和一较小者之中。——译者
① 伐勒里鳥斯（ValertusI； Lucas），1618 年死于罗马，伽利略称他为当时的亚基米德，著有《从简单的错
误论求抛物线平面法》。——原编者注
② 卡伐列里（Cavalieri，BonaventuraFrancesco，1598…1647），意大利的数学家，著有《几何学》《几何习
题》等书。——译者
大小比率的特殊方面，是现在所谈论的特种计算的对象，对于须要强调
这一点的目的，以上引证大概可以满足了。这些引证曾经能够限于简单的问
题及其解决方式；要着手检察微积分计算所谓应用的全部范围，并且以所发
现的原理为应用的基础，将一切应用的问题及其解决都还原到原理那里来完
成归纳：这对于此处唯一有关的概念规定既不适宜，也非著者能力所及。但
是以上的论述，也足够指出每一特殊的计算方式，都以大小的一种特殊的规
定性或比率为对�