是以上的论述，也足够指出每一特殊的计算方式，都以大小的一种特殊的规
定性或比率为对象，而这样的比率便构成了加、乘、乘方、开方根、计算对
数、系列等等，和这一样，微积分计算也是如此；就属于这种计算的东西而
言，方冪函数及其展开或乘方的函数的比率这个名词，或许是最合适的，因
为这个名词对事物的本性含有最确切的见解。不过，既然依据其他大小比率
的运算如加法等，一般都在这种计算中使用，于是对数、圆、系列等比率也
同样应用了，这特别是为了使那些从展开函数导出原来因数所必须的运算有
更加可以瘢S的表达。微积分计算固然共同具有较确切的兴趣，要用系列形
式来规定展开的函数，这些函数在系列中叫做各项的系数；但是因为这种 计
算的兴趣仅仅涉及原来函数和它的展开的最近的系数，于是系列便想要依照
具有那些系数的方冪而排列的众多的项，表现为一个总和。在无限系列中出
现的无限物，就是一般定量的否定物的不确定的表现，它与包含在这种计算
的无限物中的肯定规定，毫无共同之处。同样，无限小作为增长，展开借助
于它才变为系列的形式，它对于展开，只是一种外在的手段；而它的所谓无
限性，除了作为那种手段的意义而外，并没有任何其他的意义：因为所要求
的东西，事实上并不是系列，所以系列引出的东西太多，要费多余的努力再
把它去掉。拉格朗日虽然由于他的方法，在所谓应用中突出了真正的特殊性，
因为它无须将dx，dy 等强加于对象，直接指出了属于对象的导出（展开的）
函数规定的那一部分，从而表现出系列形式与此处所讨论的问题无关；但他
却又喜欢采用系列的形式，所以他的方法也就同样遭到上述的麻烦。①
① 在以前所引的批评中（《科学评论年鉴》第二卷，1827 年，第155—156 号以下），有一个精通本业的
学者史泊尔先生*的很有趣的说法，这是从他的《流量计算的新原理》（布朗施栓格，1826 年）引来的，
这些说法涉及一种情况，微分计算的晦涩而不科学，主要须水溯因于它，这也很符合于我们以前关于这种
计算的理论的一般情况所说的。他说：“纯算术的研究当然比一切类似的研究，都更与微分计算有关，人
们不曾将它与真正的微分计算分开，甚至像拉格朗日那样，把它认为是事物本身，而人们却把这种研究仅
仅看作是微分计算的应用，这种算术研究包括求微分的规则，泰勒定理的导数等，甚至各种求积分的方法
也在内，情况完全相反，那些应用才正是构成真正微分计算的对象，从解析出发的微分计算是以一切那些
算术的展开和运算为前提。”——我们曾经指出，在拉格朗日那里，将所谓应用与从系列出发的那种一般
部分的办法分开，怎样恰恰提供了突出微分计算本身特性之用。上述的那位著老说，正是所谓应用构成真
正微分计算的对象，但是可惊异的，是他有了这种镁有兴趣的见解，怎样会让自己进入（见上引的书）那
种连续大小、变、流动等等形式的形而上学，想在那些废物之上再添上斩的废物：那些规定之所以是形式
的，因为它们只圣是一般的范畴，没有举出事物的特点，而事物却是要从具体学说，从应用去认识和加以
抽象的。——黑格尔原注*史泊尔（Speht，Friedrich Wilhelm，1799—1833），布朗施维格的数学家，著有
《纯组全论的讲义大全》。——原编者注
注释三 其他与质的大小规定性有关的形式
微分计算的无限小，就它的肯定意义说，就是质的大小规定性，对于这
种规定性，我们曾较详细地指出它在这种计算中，不仅出现为一般的方冪规
定性，而且是一方冪函数与展开方冪的比率那种特殊的方冪规定性。但是这
种质的规定性所呈现的形式，还更为广泛，也可以说更为微弱；这种形式以
及与此有关的无限小的使用和无限小在这种使用中的意义，还应该在这个注
释中加以考察。
因为我们从以上所说的出发，在这方面便须首先记住，从解析方面看来，
各种方冪规定之所以出现为仅仅是形式的，并且完全是同质的，那是因为它
们意谓着数的大小，本身没有彼此间质的不同。但是解析的比率应用于空间
对象时，就完全显出了它的质的规定性，那就是从线到面、从直线到曲线等
等规定的过渡。这种应用自身又带来这样的事情，即：空固的对象，就其本
性说，是以连续大小的形式给予的，现在却要用分立的方式来把握它。所以
面就是一定数量的线，线就是一定数量的点等等。这种解决唯一有兴趣之点，
在于它本身规定了线分解为点，面分解为线等等，以便从这种规定出发，能
够以解析的方式进展，真正税来，即是以算术的方式进展；对于须要找出来
的大小规定而言，这些出发点就是原素；具体物（即连续大小）的函数和方
程式应当从那些原素导引出来。对使用这种办法显得极有兴趣的问题，要求
在这些原素中有一个自为地规定的东西作出发点；这与那种间接过程相反，
因为那种过程只能相反地以极限开始：那个自为地规定的东西就处在极限之
间，是那种过程所趋向的目标。纵使可以找到的，只是继续向前规定的规律，
而不能够达到所要求的完全的规定、即所谓有限的规定，然而两种方法所得
的结果是一样的。第一个想到那种倒转过来的过程，而将分立的东西作为出
发点，这项荣誉应归于克卜勒。当他说明他对亚基米德测量圆的第一定理如
何了解时，他以很简单的方式表达了这一点。亚基米德的这第一定理是大家
都知道的，那就是：假如一个直角三角形的勾等于一个圆的半经，股等于圆
的圆周，那么这个圆便等于这个直角三角形。因为克卜勒把这一定理的意义
当作是圆周所有的部分和它所有的点同样多，即无限多，而每一部分都可以
看作是一个等腰三角形的底线等等，所以他就把连续物的分解表现，一分立
物的形式。这里出现的无限这一名词，与它在微分计算中应该有的规定，还
离得很远。——假如现在为这些分立物已痤找到了一种规定性或函数，那么，
以后还又应该把它们总括起来，本质上作为连续物的原素。但是既然点的总
和不能给予线，线的总和不能给予面，那么，这就是点立刻已经被认为有线
的性质，线也有面的性质了。但是那些有线的性质的东西还不就是线（假如
它们被当作定量，那就会是线了），所以它们被想像为无限小。分立物只能
够是一个外在的总括，在总括中的环节，保持着分立的一的意味；从这些一
所出现的解析的过渡，只是到它们的总和，同时，这种过渡并不是由点到线
或由线到面等几何的过渡：所以对于那些以点或线为其规定的原素，同时也
就给予了（对以点为规定的原素）以线或（对以线为规定的原素）以面的性
质，从而像是由细小的线的总和便成了一条线，由细小的面的总和便成了一
个面。
需要取得质的过渡这一环节并为此而以无限小作避难所，这一点必须看
作是一切想要消除上述困难而本身却成了最大困难的观念的来源。要避免这
种救急的应付，那就必须能够指出似乎是单纯加法的解析法，事实上本身已
经含有乘法。但是在这方面，又出现了一个新的假定，它构成把算术比率应
用于几何形状的基础：那就是算术的乘法对于几何规定，也是一种到较高因
次的过渡，——一些大小，按照其空间的规定而言，是线；它们算术的乘法，
同时就是线成了面的规定那样一个乘积；3 乘4（直线的）尺，是12（直线
的）尺，但3（直线的）尺乘4（直线的）尺却是12（平面的）尺，而且当
然是平方尺，因为两者既是作为分立的大小，共单位是同一的。直线与直线
相乘，起初显得似乎有些荒谬，因为乘法只涉及数，是数的变化，这些数与
其由过渡而成的东西，或说乘积，是完全同质的，不过大小变化了而已。另
一方面，所谓线本身与线之相乘——这被称为积诸线为线（ductus lineae in
lineam），就像积诸面为面（plani in planum）那样，积诸点为线（ductus
punctiin lineam）也是如此——这不单纯是大小的变化，而是线作为空间的
性质的规定性、作为一维（Dimension）的变化；必须把线过位为面理解作线
超出自身之外，正如点超出自身之外为线，面超出自身之外为立体那样。说
点的运动就是线等等，其所想像的，与上面所说，是同一的东西；但是运动
包括时间规定，并且在那种观念中，更像仅仅是情况的偶然的、或外在的变
化；而须要采取的，却是表现为自身超出的概念规定性，——即是质的变化，
并且在算术方面，它就是（如点等等）单位与（线等等）数目的相乘。这里
还可以注意到在面超出自身时，便会出现面与面相乘，而发生算术乘积与几
何乘积有区别的假象，因为面的超出自身，作为积诸面为一面（ductus plani
inplanum），在算术方面，会得出两个二维规定的相乘，从而会得出一个有
四维的乘积，但这乘积却由几何的规定而降低到三维。假如说在一方面，数
因为以一为根本，所以对外在的量的事物给予了固定的规定，——那么，它
的相乘也同样是很形式的：把3·3 当作数的规定，其自乘便是3。3x3·3；
但是同一的大小，作为面的规定，其自乘却在3。3。3 那里便被遏止住了，因
为空间虽然被想像为从点，这个仅仅是抽象界限出发前进，但它却以第三维
为它的真实界限，即从线出发的具体规定性。上述区别，对于自由运动，可
以证明是很有效果的；在自由运动中，其空间的一方面是受几何规定（s3：t2
的克卜勒定律）支配的，其时间的另一方面，是受算术规定支配的。
这里所考察的质的方面，如何与前一注释中的对象不同，可以无须更加
解说便自然明了。在前一注释中，质的方面包含在方幕规定性之内；在这里，
它却像无限小那样，仅仅在算术方面对乘积而言是因数，或者对线而言是点，
对面而言是徒等等。那个必须从分立物（连续大小被想像分解为这种分立物）
到连续物的质的过渡，现在将作为加法来完成。
但是这个似乎单纯的加法，事实上自身却包含着乘法，即包含从线的规
定到面的规定之过渡，例如一个等边四边形的面积等于两条相互平行线之和
与其高之半的乘积，就最简单地表现了这一点。这个高被想像为一些应该加
在一起的一定数量的分立的大小的数目。这些大小是线，它们是在那两条作
为界限的平行线之间并与其平行；它们的数量是无限多的，因为它们应该构
成面，但又是线，为了成为有面的性质的东西，便必须随着否定而建立。为
了避免从线的总和须得出面这样的困难，便立刻把线当作面，但同时却当作
是无限细窄的面，因为它们只是以不等边四边形平行界限的带有线的性质的
东西为其规定。它们是平行的，并且以不等边四边形另外两条直线的边为界
限，于是它们就可以被想像为是一个算术极数的诸项：各项的差分，一般是
相同的，但并不需要规定，而级数的首项和未项就是不等边四边形的那两条
平行线：这个极数的总和，就是大家知道的那两条平行线与全项数日之半的
乘积。后一定量只是完全对无限多的线这一观念而言，才被叫做数目；它是
一个连续物，即高的一般大小规定性。很明显，所谓总和，同时就是积诸线
为一线（ductus lineae in lineam），即线与线相乘，按照上面的规定，就
是带有面的性质之物的发生。在长方形这种最简单的情况下，a，b 两因数中
每一个都是一个单纯的大小：但是以后即使在不等边四边形这样最初步的例
子中，便已经只有一个因数是其高之半这样单纯的东西，而另一个因数，则
相反地是由一个级数来规定的；后一因数也同样有线的性质，但是它的大小
规定性较为复杂；因为这种规定性只能由一个系列来表示，这就是说要解析
地、即算术地把这个系列总加起来；其中几何的因素是乘法，是从线维到面
的过渡的质；前一因数只是为了后一因数的算术规定才被认为是分立的，就
本身而言，它也和后一因数一样，是一个有线的性质的东西的大小。
把面想像为线之总和这样的办法，当乘法本身与结果�