我们得出了a 的符号正负及绝对值的大小与图像的方向和开口大小的关系了。a 对x2的性质和变化速率能起到改变作用。
但上面的结论是在特例中导出的，是否符合一般性结论呢？当然还需要接着研究。基本思路就是能不能将一般性的事物通过变化使之符合特殊形式。显然一般性y=ax2＋bx＋c与y=ax2 差异很大，前者多出了bx的一次项和c这个常数项，x2 和x的变化趋向并不总是一致的，形式上是不可能判断a是对整个二次函数的作用的。所以，我们首先想到的是将二次项和一次项聚汇。于是就有了ax2＋bx=a（x2＋ x ）… =a（x2＋ x＋ ）… =a（x＋ ） … ，所以y=ax2＋bx＋c=a（x＋ ）2＋（c… ） 。这时，我们已经看到一般性变成特殊性的形式：若命x＋ =z c… =d于是 y=az ＋d。
从图像上看 ，y＝az2＋d只不过是纵轴上在y＝az2 的基础上上移d个单位，若d＜0则上移单位为负值，即下移。由此证明了d即c－ 的图像意义。接着研究y＝az2和y＝a （x＋ ）2即可了。显然，若没有特别说明，y＝az2和我们研究过的y＝ax2图像应该是一回事。只不过字母不同罢了，但这里的关系是z＝ x＋ ，所以，原来在x＝0处的原点变成z＝0即x＝－ 时，由是在图像上我们知道，原点左移了 个单位，但 ＜0时，原点负左移即右移了 个单位。研究至此，我们彻底明白了a、b、c和二次函数图像之间的关系。
总结一下研究过程，发现任何研究过程都不可或缺的基本原理：
一、 从特殊性到一般性，从简单入手到全面解决。这其中的原理是不断增加条件的约束，从中考察条件对结果的影响，从而得出一般规律。
二、 从定量到定性。当然，首先看到研究对象大致要确定的性质属类，但一开始不可能明确定性，必须先通过量的研究，如a取值1、2、3等，然后通过渐进性的变化找到其根本的性质。
三、 要素思考和因果思考。要素思考实际上是我所讲的包容性思维，要明确研究对象的角度和内容，因果思考当然是顺沿性思维（有关包容性思维和顺沿性思维我课中讲过，不再缀述，需要者可登录中心网站查看以前期刊），任何一个结果成立的原因一定要弄清楚，不然绝不会运用这个结论解一些复杂问题。
四、 静态研究和动态研究。任何问题在研究时都要固化，如令a＝2时研究y＝ax2的图像，但事物一定是发展变化的。因此，要放在动态趋势上研究，如研究完y＝ax2，再研究完a＝1、2、3时，要去看更大会怎样，能大到多少，反之又如何，这样，就对全貌有了整体把握。
如果学习中有了这些研究习惯，相信任何一道题及已有知识通过你的研究都会准确无误地解决。拿这道都错的题来说，研究者而绝非是套公式的人首先是定性，即明确c和y的关系，显然y＝ax2＋bx＋c在x＝0时，y＝c，这时实际上是明确了因果关系和要素关系。那么c的值就由图像和y轴的交点确定了（定性）。这个交点的变化范围如何呢？由于图像不过第一象限，显然图像和y轴的交点不能大于零，等于零可以吗（逆向思维）？显然等于零和小于零都可以，这句话里包括要素思考和动态研究两方面的含义，结果答准确是必然的。
那些答漏了的同学，归根结底还是没有把学习过程变成研究过程，因此在解题中也是去套搬套用而已。将学习和考试结合的过程才是将今天的学习和未来的工作密切结合的过程。
从英文词义中寻找思维脉络
在给同学们做卷面分析时，我们常发现，即使老师已经讲解过的错题，很多同学仍不知所以然，如果再出类似的题目，还会出错，再次出错的原因是他们没有深究自己第一次错误的深层原因。以〃stand〃这个单词为例，给同学们一些避免出错的方法，并就很多同学感到头痛的单词记忆和使用提些建议，以从死记硬背中解脱出来，变成一种有乐趣的、探究式的记忆。
有一道题，虽出现于高三的阅读理解中，但从初一下半学期到高三的同学都应该可以做出来，这句话是：He is really rude。 I can't stand it。 对于这句话的理解，stand 是关键词，很多同学会说，这个词很简单呀，不就是〃站立〃的意思吗？可照这个意思翻译，这句话怎么都不通顺。如果是在考试中，我们的对策应该是：去猜它是否是其他含义，而不能死抠你知道的那一个意思。在英语学习中，我们必须把握的一个常识是，一个英语单词会有很多含义：原意 ＋ 若干个引申意。从这整句话中可以看出，I can't stand it。是对〃他很粗鲁〃做出的〃我不能……〃的评价，那么对于〃粗鲁〃的行为，一般人会怎样评价呢？〃不能忍受〃！因此基本上可以猜出stand是〃忍受〃的意思。
当然这种方法是一种在考试中遇到生词或或不熟悉的词义的应急办法。其实英语单词的学习更重要的是平时的积累方法，因为我们不能指望在考试中有那么多的时间进行大量的猜词活动。像在学到一个生词时，如stand不能只记课本所讲的〃站立〃这样一层意思，而是要查字典（千万不要使用电子词典，其中常有误导），将stand的所有含义找出来进行分析，看他们与〃站立〃有怎样的联系。翻开《新英汉词典》，我们发现除〃站立〃外，stand还有十几种意思，如〃坐落、位于〃、〃停止〃、〃处于某种状态〃、〃维持原状〃……〃忍受、经受、顶住、抵御〃，我们会发现，其实前边那十几个意思根本不需要特殊记忆，因为他们与〃站立〃的意思太像了，只是用在不同场合的所使用的词义相对有些变化而已，如 The house stands on a hill。 在英文中有〃站立〃的意思，但不能这样翻译，在此就要译成〃坐落、位于〃等意思。而〃忍受〃这层含义则与原意差别太大了，在理解这层含义时，就要做一些深层的思考了。
首先〃抵御、顶住〃这个引申义，指的是一种特殊的〃站立〃，是在抵御外来重物或力量的冲击，从〃抵御〃这种冲击中又引申出了内在的感受，即需要〃忍受〃。
其实，词汇的不同含义是通过原意与引申义的内在联系而探究出来的。因此，平时的学习要注意挖掘，才会学得深入而有趣。
从错误中学习… 错题本价值最大化利用
在学习过程中，人人都会犯错，但我们必须学会从错误中学习。从自己所犯的错误中学习，学习的效果最好。优秀学生学习上最大的特点是同一错误不犯两次，在学习过程中尽最大努力减少犯同样错误的最佳方法是建立学科错题本。错题本又称〃纠错本〃，内容一般包括〃原题〃、〃正确解法〃、〃错误解法〃、〃出错原因分析〃和〃错题纠正方法〃等几个方面。错题本的使用方法如下：
1、及时记录错题
错题的来源一般包括平时的作业习题、单元测试题、期中考试题、期末考试题、中考或高考模拟试题等。原则上，凡自己在学习过程中做错的题目都应当在发现之时及时记录下来，一是便于及时纠正错误，二是也有利于进一步系统分析、总结，这是纠错的第一步工作。如果限于学习时间，至少应当把每次考试中出现的错题做以记录。具体记录方式可以因人而异，但一般书写要简明扼要、整齐、清楚。可以用不同色彩的笔写，起到醒目的作用，也便于以后复习翻阅。也可以将原题与错误解法剪切、粘贴到相应位置。
2．认真分析做错原因
错误答案和正确答案一样重要，问题不在于题目做错或者做对， 关键在于心里必须清楚为什么做错、为什么做对。因此必须对错题进行认真分析，找出出错的原因，避免以后重复错误，这是纠错的核心，而不是简单地将错误纠正过来。 对每道题出错原因可从以下几个方面进行分析：
①马虎，包括审题、计算和书写；
②知识未融会贯通，包括知识不能再现以及没有真正理解；
③解题过程中思维难度和思维偏度问题，包括顺延性思维和包容性思维。
3、定期翻阅或整理错题本
定期（周末/月末/期末）复习或整理错题本，以检查自己的错误是否得到纠正，特别是对于平时常考常错，易混淆的知识点要集中整理在错题本上，作为复习的重点，对于已经熟练掌握的题目以后可不再复习。定期复习，特别是考前的浏览复习很重要，此时错题本往往是最佳的复习资料，因此，错题本要注意长久保存。另外，经常与同学互相交换阅读对方的错题本，这样有利于提高自己的纠错能力。
附错题本参考格式：
编号 日期 错题来源 题型 错误类别 知识点 相关教材内容 原题 错误解法 正确解法 出错原因分析 改进方法 错误类型 备注
也许你也如此懊悔过
请读者先解答下面的题，自解出答案，再接着看文章。
1、 在△ABC中，已知∠A=15°，BD是△ABC的高，BD：AD=CD：BD； 求∠C的度数。
2、 已知一元二次方程kx2＋2x＋1=0有两个不相等的实数解，求k的 取值范围。
请千万不要觉得这两道题太简单，你一看肯定会，不去求解就往下读。 要知道，我在这里不是考查你是否会做这道题，而是在考验你的思维 方式，请一定要求出答案并写在纸上，然后继续读下去。
当然，这是两道知识背景和能力要求相对简单的题。答案如下：
1、75°或115°；
2、k小于1且不等于0
不知你是否答对了。若你凭思维习惯而非因做过此题而得到了正确答 案，那该恭喜你。若你漏解了，说明你的思维尚待健全，请认真阅读后文。
这是一类考试中经常出现且很多同学因为漏解而失分的题，考试中信 心十足地认为做对了，发下试卷后看到这类错误，则懊悔不已，信誓旦旦 地自我警示再也不能犯此低级错误，但以后的考试却仍然难以避免，于是 懊悔重复上演着。
要真正解决这一问题，必须从根源上入手，找到错误产生的原因，并 拿出纠正的办法。
一道题的解答分三个步骤：审题，答题，验题。审题包括读题和析题， 读题时要在整体把握的基础上抓住关键词，理解关键词的含义及词语 之间的关系。解题时首先要对问题的三要素：条件、目标及二者之间的缺 口进行明确定位。对条件的把握要注意显性条件和隐性条件的划分， 尤其是隐性条件，它跟基本概念的含义有关。你可能对概念的内涵并 不陌生，但在考试中却往往容易产生疏忽。应该说，产生漏解主要 是在这一步骤出了问题。
我们结合上面的题分析一下产生漏解的同学审题时的心理路径： 这样的同学匆匆扫视一遍题意，就会马上去做，尤其是看到会做的不 太难的题。看到第一题脑子里浮现出一个普通锐角三角形，于是根据 条件推出两个直角三角形相似，于是乎便得出结论：所求角为75°，另 一题也是，他们非常清楚一元二次方程有两个不相等的实数解的前提 是判别式大于零，于是乎列出方程并解得x﹤1。
这样做源于一个极为不良的思维习惯，即只见树木，不见森林。 因此，必须从思维方式上入手来解决问题。正确的思考过程是先定性， 后定量。
定性是全局性的把握，要明确所要解决的问题的目标和范围，定性 时有两点极为重要。一点是包容性思维的使用，一点是动态思维的运用。 包容性思维指全面要素的思考过程，包括目标，即问题所要求什么要 清楚，也要对条件有所把握。在对条件把握时不仅要清楚题目中给出的 显性已知条件，更要找出所涉及概念中包含的隐性条件。概念的把握是前 提，因此要通过对课本知识的理解去全面深入地把握概念的含义和联系。 思维过程是关键，因此要养成良性思维方式。当我们包容性地思考问题 时，对于第一题往往定性为在三角形中解决问题，而三角形的概念如果 清楚，我们马上便会在包容中思考到三角形的三角分类，即锐角，直角 和钝角三角形。因此也就不会简单地只考虑锐角三角形一种情况。动态 思维指的是不要一成不变地看问题，而是用发展变化的眼光看事物，既 要思考事物的发展趋向，也要搞定变化的两极范围。若能动态思考，则 会想到三角形引出高线的那个角应是0°…180°之间变化。因此，也不 会只想到90°以内，也就不会丢解了。同样，若能很好地利用这两种方 法定性，对第二题马上就会有一个前瞻性的结论，即首先要使一元二次 方程成立，这是本题的大前提，因此k决不能为零。这就已经杜绝了漏