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但是如吉布斯所清楚阐述的，当得不到精确的初始条件时，系综的方法不过是一个方便的计算工具而已。在他们看来，概率表达的是无知，是信息不足。甚至从动力学观点来看，对个体轨道和概率分布的讨论总是被认为是等价的问题。我们可以从个体轨道出发，然后推出概率函数的演化，反之亦然。概率ρ只是对应于轨道的叠加，并不导出任何新的特性。
真的总是如此吗？这对我们不期待任何不可逆性的简单稳定系统来说的确是如此。吉布斯和爱因斯坦是对的，个体观点（就轨道而言）和统计观点（就概率而言）是等价的。这很容易证实，我们将在第五章回到这一点上来。不过，这对不稳定系统来说也是对的吗？在分子水平上涉及不可逆过程的所有理论，如玻尔兹曼的动理学理论，这些理论都涉及概率而不涉及轨道，又会怎样呢？这又是因为我们的近似，我们的粗粒化吗？那我们如何解释动理学理论对稀薄气体诸如热导率和扩散等许多性质定量预言的成功，所有这些都被实验所证实呢？
庞加莱对动理学理论的成功倍加赞许，他写道：“也许气体动理学理论会作为一种模型使用……物理学定律将有一种全新的形式，它们将具有统计的特征。”这确实是先知之言。玻尔兹曼引进概率作为经验工具，这是特别大胆的一步。 100多年以后的现在，我们开始理解概率概念在我们从动力学走向热力学时如何形成。不稳定性破坏了描述的个体层次与统计层次的等价性，于是概率获得了一个内在的动力学意义。这一认识导出了一种新型物理学，即本书的主题 —— 群体物理学。
要解释我们说的是什么含义，考虑一个简化的混沌例子。假设在如图 1．4所示的相空间内，我们有两种记为＋或…的运动（亦即运动 “ 上 ” 域 “ 下 ” ），这样我们就有两种用图 1．5和图1．6表示的情形。在图1．5中，相空间里有两个不同的区域，一个对应于运动…，另一个对应于运动＋。若我们不管靠近边界的区域，则每一个‘…
被… 包围，每一个＋ 被＋
包围，这对应于稳定系统。初始条件的小变化不改变结果。
相反，在图 1．6中，每一个＋
被…
包围，反之亦然。初始条件的微小变化被放大，故这个系统是不稳定的。这种不稳定性的一个首要结果是，现在轨道变得理想化了。我们不再能准备单一轨道，因为这意味着无限的精度。对稳定系统而言，这没有什么意义，但对于具有对初始条件敏感性的不稳定系统，我们只能给出包括多种运动形式的概率分布。这种困难仅仅是一个操作困难吗？是的，如果我们考虑轨道现在变成不可计算的话。但还有更多的难题：概率分布允许我们在动力学描述的框架内把相空间复杂的微观结构包括进去。因此，它包含附加的信息，此种信息在个体轨道的层次上不存在。我们将在第四章看到，这具有根本性的结论。在分布函数 ρ 的层次上，我们得到一个新的动力学描述，它允许我们预言包含特征时间尺度的系综的未来演化，这在个体轨道层次上是不可能的。个体层次与统计层次间的等价性实实在在地被打破了。对于不可约概率分布 ρ ，我们得到新的解，因为它们不适用于单个轨道。混沌定律不得不在统计层次上进行表述，这就是我们在前面一节中谈到不能以轨道来表达的动力学的推广的含义。这就引出了一种我们在过去从未遇到过的情形。初始条件不再是相空间中的点，而是由 ρ 在初始时刻 t＝o时所描述的某个区域。因此，我们有一个非局域描述。轨道依然存在，但它们是随机的概率过程的结局。不论如何精确地配合我们的初始条件，我们都得到不同的轨道。而且，我们将看到，时间对称性被打破了，因为过去和未来在统计表述中扮演着不同的角色。当然，对稳定系统而言，我们通过确定性轨道回到通常的描述。
为什么要把那么多时间花在给自然法则一个包括不可逆性和概率的推广上？其中的一个原因是思想意识原因——意欲在我们对自然的描述中实现一个准神灵的观点。然而，这里仍然存在一个专门的数学难题。我们的工作基于一个在最近几十年才达到前沿的数学领域——泛函分析——的新进展。我们将看到，我们的表述需要一个扩展的泛函空间。这个新的数学领域目前在认识自然法则中扮演着十分重要的角色，它使用被芒德布罗（ Benoit
Mandelbrot）称为分形的广义函数。 ” 我们需要一种 “ 神灵 ” 观点来保留确定论思想。但没有任何人的测量，没有任何理论预言能以无限精度给我们初始条件。
考虑拉普拉斯妖在确定性混沌的世界里变成什么，是有意义的。除非他以无限精度知道初始条件，否则他不再能预测未来。只有那样，它才能继续使用轨道描述。但有一种更强大的不稳定性，无论初始描述的精度如何，它都会使轨道破坏。这种形式的不稳定性极其重要，因为它既适用于经典力学又适用于量子力学。
我们的故事确实始于 19世纪末庞加莱的工作。按照庞加莱，动力学系统由其粒子的动能加上粒子相互作用产生的势能来描述。一个简单的例子是自由的无相互作用的粒子。在这里没有势能，而且轨道的计算是平凡的，这样的系统被定义为可积的。庞加莱问，是不是所有的系统都可积？我们能否选择适当的变量来消去势能？通过显示这通常是不可能的，他证明了动力学系统基本上都是不可积的。
在此有必要稍加停顿，仔细思考一下庞加莱的结论。假设庞加莱证明所有的动力学系统都是可积的，这将意味着所有的动力学运动与自由无相互作用粒子是同构的。这将没有时间之矢的立足之地，因而也就没有自组织和生命本身的立足之地。可积系统描述的是一个静态的、确定性的世界。庞加莱不仅证实了不可积性，而且指明了造成不可积性的原因，即自由度之间共振的存在。我们将在第五章更详细地看到，每一种运动形式都对应于一个频率，这方面最简单的例子是给走质点和中心点的谐振子。质点受到的力与它离开中心点的距离成正比，如果我们将质点从中心拉开，它会以一个确定的频率振动。正是通过这些频率，我们得到共振这个对庞加莱定理十分重要的概念。
我们都多多少少熟悉共振的概念，当我们迫使弹簧离开其平衡位置，它将以一个特征频率振动。现在给弹簧施加一个外力，这一外力具有可变的频率。当弹簧的频率与外力的频率二者有一个简单的数字比率（即其中一个频率是另一个频率的数倍）时，弹簧的振幅将急剧加大。当我们在一件乐器上演奏一个音符时会发生同样的现象。我们会听见谐音。共振“耦合”声音。
现在考虑由两个频率所刻画的系统。根据定义，只要 n 1 ω 1 ＋ n 2 ω 2 ＝ 0，其中nl和n 2 都是非零整数，我们就得到了共振。这表明 ω 1 / ω 2 =…n 2 /n 1 ，即频率之比为有理数。庞加莱已表明，共振在动力学中带来具有 “ 危险的 ” 分母 1/（n 1 ω 1 ＋n 2 ω 2 ）的项，只要有共振（即相空间中的点满足 n 1 ω 1 ＋n 2 ω 2 =0），这些项就会发散。其结果是，我们计算轨道时会碰到障碍。
这就是庞加莱不可积性的来源。 18世纪的天文学家就已知道 “ 小分母问题 ” ，但庞加莱定理表明，这一困难是绝大多数动力学系统所共有的。庞加莱将其称为 “ 动力学的普遍问题 ” 。然而，在相当长的时期里，庞加莱结果的重要性被忽视了。
玻恩写道：“如果自然界以多体问题的解析困难为后盾，使自己强大起来以抵御知识进步，是十分不同寻常的。”很难相信一种技术上的困难（由于共振而导致的发散）能改变动力学的概念结构。我们现在从一个不同的角度来看这一问题。对我们来讲，庞加莱的发散是一个良机。事实上，我们现在可以超出庞加莱的消极陈述，并表明不可积性和混沌一样为动力学定律的新统计表述铺平了道路。由于科尔莫戈罗夫（ Andrei
N．Kolmogorov）及随后阿诺德（Vladimir IgorevichArnold）、莫泽（Jurgen
Kurt Moser）的工作（所谓 KAM理论），人们终于理解了不可积性，这在庞加莱之后又花了60年的时间。不可积性不是玻恩所言自然界抵制知识进步的令人沮丧的表现，而是动力学的新起点。
KAM理论处理共振对轨道的影响。频率。通常依赖于动变量如坐标和动量的值，它们在相空间不同点的取值不同。其结果是，有些点由共振来刻画，而另一些点则不然。对于混沌来讲，这又将使其相空间达到特别复杂的程度。按照KAM理论，我们观察到两类轨道： “ 正经的 ” 确定性的轨道，以及与共振相关联的在相空间无规律地漫游的 “ 散漫的 ” 轨道。
这一理论另一个重要结果是，当我们增加能量值时，随机性占据的区域会随之扩大。对于某个临界能量值，会出现混沌：随着时间的推移，我们看到相邻轨道呈指数发散。而且，对于充分发展的混沌来说，由轨道产生的点云会导致扩散，但扩散与我们将来达到均匀性的方法相关联。它是一个产生熵的不可逆过程（见第 1节）。虽然我们从经典动力学出发，我们现在却观察到时间对称性的破缺。这如何可能，正是我们为了克服时间佯谬而必须解决的主要问题。
庞加莱共振在物理学中扮演着基本角色。光的发射或吸收是共振所致，因为它是使相互作用的粒子系统达到平衡的途径。相互作用的场也导致共振。事实上，很难在经典物理学或量子物理学中找到一个共振在其中没有扮演显著角色的重要问题。但是，我们如何克服与共振相关联的发散呢？对此已取得了一些重要进展。如在第 III节中，我们必须区分个体层次（轨道）和统计层次（由概率分布 ρ 描述的系综）。在个体层次上我们有发散，但这些发散在统计层次上可以得到解决（参见第五、第六章），共振在统计层次上产生与共鸣导致的伴声大致类似的事件耦合。其重要特点是，出现了与轨道描述不相容的、新的非牛顿项。这并不奇怪。共振不是局域事件，因为它们并非在给定地点或给定时刻发生。共振蕴涵着非局域描述，所以不能包含在与牛顿动力学相关联的轨道描述之中。我们将要看到，共振导致了扩散运动。当我们从相空间的一个点 P 0 出发，我们不再能肯定地预言经过一段时间。之后其新位置Pt。简言之，初始点
P 0 以明确的概率产生许多可能的点P 1 ，P 2 ，P 3 。
在图 1．7里，区域D中的每个点有一个在时刻。出现的非零概率或明确的转移概率。这种情况类似于 “ 无规行走 ” 或 “ 布朗运动 ” 的情形。在最简单的情况里，这一条件可以用粒子在一维点阵中的运动来说明，点阵以规则的时间间隔作一步转移（参见图 1．8）。
在每一步，质点往左去和往右去的概率均为 1／2。在每一步，未来都是不确定的。从一开始，就不可能谈到轨道。从数学上来讲，布朗运动由扩散型方程（称为福克尔…普朗克（Fokker－Planck）方程）描述。扩散是有时间方向的。如果我们从位于同一源的点云出发，随着时间的推移，这个点云将分散，一些粒子出现在远离源头的地方，另一些则出现在离源头较近的地方。令人瞩目的是，从经典动力学出发，共振精确地导出了扩散项，也就是说，共振甚至在经典力学框架中引入了不确定性，并打破了时间对称性。
对于可积系统而言，当这些扩散因素不存在时，我们就会回到轨道描述，但是总体上，动力学定律必须在概率分布层次上进行表述。因而，基本问题是：在什么情况下，我们可以预期成为可观察量的扩散项？当做到这一点时，概率变成自然的基本属性。这是有关确定牛顿动力学有效范围的问题（或有关我们下一节将要考虑的量子理论的有效范围问题），它不啻是一次观念上的革命。几个世纪以来，轨道被看作是经典物理学基本的、原始的客体。相反，我们现在则把轨道看作是共振系统的有效范围，在第五章我们将回到这个问题上来，在第六章针对量子力学讨论一个平行的问题。然而，此时我们先给出一些暂时的回答